Mục lục bài họcĐang ở d02-b2
Differentiability and Continuity
One implication, and only one
If $f$ is differentiable at $a$, then $f$ is continuous at $a$. The converse is false, and the exam lives in that gap: continuity is necessary but nowhere near sufficient.
A continuous function fails to be differentiable at $a$ in exactly three ways, and you should be able to name which one a picture shows:
- Corner — the one-sided derivatives exist but disagree, as with $|x|$ at $0$.
- Cusp — the one-sided slopes run off to $+\infty$ on one side and $-\infty$ on the other, as with $x^{2/3}$ at $0$.
- Vertical tangent — both one-sided slopes run to $+\infty$ (or both to $-\infty$), as with $x^{1/3}$ at $0$.
For a piecewise-defined function, differentiability at the seam costs two equations: the pieces must agree in value there (continuity) and their derivatives must agree there as well. Solving only the second one is the classic way to lose half the credit.
Chỉ có một chiều đúng: khả vi tại $a$ thì liên tục tại $a$. Chiều ngược lại sai, và toàn bộ dạng đề của mục này sống trong khe hở đó — liên tục là điều kiện cần, còn xa mới đủ.
Một hàm liên tục hỏng khả vi tại $a$ theo đúng ba kiểu, phải gọi tên được khi nhìn hình:
- Góc nhọn: hai đạo hàm một phía đều tồn tại nhưng khác nhau, như $|x|$ tại $0$.
- Điểm nhọn (cusp): hệ số góc một bên chạy về $+\infty$, bên kia về $-\infty$, như $x^{2/3}$ tại $0$.
- Tiếp tuyến đứng: cả hai bên cùng chạy về $+\infty$ (hoặc cùng $-\infty$), như $x^{1/3}$ tại $0$.
Với hàm ghép khúc, khả vi tại chỗ nối tốn hai phương trình: hai nhánh phải bằng nhau về giá trị (liên tục) và bằng nhau về đạo hàm. Chỉ giải phương trình đạo hàm là cách kinh điển để mất nửa số điểm — mà bài làm nhìn vẫn có vẻ đủ ý.
Cho $f(x)=x\,|x|$. Chứng minh $f'(0)$ tồn tại và bằng $0$, nhưng $f''(0)$ không tồn tại.
Viết lại theo nhánh: $f(x)=x^2$ khi $x\ge0$ và $f(x)=-x^2$ khi $x<0$.
Đạo hàm cấp một tại $0$ — dùng định nghĩa, tỉ sai phân là $\frac{h|h|-0}{h}=|h|$. Khi $h\to0$ thì $|h|\to0$ từ cả hai phía, nên $f'(0)=0$.
Ngoài $0$: $f'(x)=2x$ khi $x>0$ và $f'(x)=-2x$ khi $x<0$, tức $f'(x)=2|x|$ với mọi $x$.
Đạo hàm cấp hai tại $0$ — nhưng $f'(x)=2|x|$ chính là hàm trị tuyệt đối nhân đôi, có góc nhọn tại $0$: đạo hàm một phía bên phải là $2$, bên trái là $-2$. Hai số khác nhau nên $f''(0)$ không tồn tại.
Ý rút ra: khả vi cấp một không kéo theo khả vi cấp hai. Mỗi cấp đạo hàm là một điều kiện mới, phải kiểm riêng.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 2 — Differentiation: Definition and Fundamental Properties gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.