Mục lục bài họcĐang ở d10-b2
Comparison, Integral, and Ratio Tests
Four tests for series of positive terms
Direct comparison. If $0\le a_n\le b_n$ and $\sum b_n$ converges, then $\sum a_n$ converges. If $a_n\ge b_n\ge 0$ and $\sum b_n$ diverges, then $\sum a_n$ diverges. The inequality must point the useful way; a bound in the wrong direction proves nothing.
Limit comparison. If $a_n,b_n>0$ and $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ with $0
Integral test. If $f$ is positive, continuous and decreasing on $[k,\infty)$ with $f(n)=a_n$, then $\sum a_n$ and $\int_{k}^{\infty}f(x)\,dx$ converge or diverge together. Note that the integral's value is not the sum.
Ratio test. With $L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$: converges absolutely if $L<1$, diverges if $L>1$, and is inconclusive if $L=1$.
So sánh trực tiếp. Chặn trên bởi một chuỗi hội tụ thì hội tụ; chặn dưới bởi một chuỗi phân kỳ thì phân kỳ. Bất đẳng thức phải chỉ đúng chiều — chặn trên bằng một chuỗi phân kỳ là câu nói không mang thông tin nào.
So sánh giới hạn. Nếu $\frac{a_n}{b_n}\to L$ với $0
Dấu hiệu tích phân. Cần ba điều kiện của $f$: dương, liên tục, giảm trên $[k,\infty)$. Khi đó chuỗi và tích phân suy rộng cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Chú ý: giá trị tích phân không phải tổng của chuỗi.
Dấu hiệu tỉ số. $L<1$ hội tụ tuyệt đối, $L>1$ phân kỳ, $L=1$ không kết luận. Tỉ số là lựa chọn số một khi biểu thức có giai thừa hoặc luỹ thừa bậc $n$, và là lựa chọn tồi khi biểu thức chỉ là phân thức của $n$ — ở đó nó luôn cho $L=1$.
Xét sự hội tụ của $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+3}{n^{4}-n+2}$ và của $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}$.
Chuỗi thứ nhất — phân thức, dùng so sánh giới hạn. Giữ luỹ thừa trội: $b_n=\dfrac{n^{2}}{n^{4}}=\dfrac{1}{n^{2}}$.
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n^{2}+3}{n^{4}-n+2}}{\dfrac{1}{n^{2}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{4}+3n^{2}}{n^{4}-n+2}=1$$Giới hạn hữu hạn và khác $0$, mà $\sum\frac{1}{n^{2}}$ là chuỗi $p$ với $p=2>1$ nên hội tụ. Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
Chuỗi thứ hai — có giai thừa, dùng tỉ số.
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!}=\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}=\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^{n}}$$Giới hạn bằng $\dfrac{1}{e}\approx 0{,}368<1$, nên chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Điểm cần thấy: dạng biểu thức quyết định dấu hiệu. Đưa dấu hiệu tỉ số vào chuỗi thứ nhất cho $L=1$ và mất thời gian mà không thu được gì.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 10 — Infinite Sequences and Series gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.