Mục lục bài họcĐang ở d09-b3
Histograms and scatter diagrams
Histograms with unequal class widths
In a histogram the area of each bar represents the frequency, so the height is not the frequency:
$$\text{frequency density}=\frac{\text{frequency}}{\text{class width}},\qquad \text{frequency}=\text{frequency density}\times\text{class width}$$When all classes have the same width, height and frequency happen to be proportional and the distinction never shows up. Cambridge therefore sets questions with unequal widths precisely to test it.
The vertical axis of a histogram is labelled frequency density. A bar chart, by contrast, has gaps between the bars and a vertical axis of plain frequency.
Scatter diagrams
Describe correlation with two words: a direction and a strength — "strong positive", "weak negative", "no correlation".
- Positive: as one increases, so does the other;
- Negative: as one increases, the other decreases;
- Strong: points lie close to a straight line.
Line of best fit
Draw it so it follows the trend with roughly equal numbers of points either side; it does not have to pass through the origin, and it should pass through the point $(\bar{x},\bar{y})$ if that has been calculated.
Use it to estimate within the range of the data. Reading far outside that range is unreliable, because there is no evidence the pattern continues — a question asking "is this estimate reliable?" almost always wants that answer.
Correlation is not cause
Two quantities can correlate strongly because a third quantity drives both. Saying "$x$ causes $y$" from a scatter diagram alone is not supported.
Biểu đồ tần suất có lớp rộng khác nhau. Trong biểu đồ tần suất (histogram), diện tích mỗi cột biểu diễn tần số, nên chiều cao không phải tần số:
$$\text{mật độ tần số}=\frac{\text{tần số}}{\text{độ rộng lớp}},\qquad \text{tần số}=\text{mật độ tần số}\times\text{độ rộng lớp}$$Khi mọi lớp rộng bằng nhau, chiều cao và tần số tỉ lệ với nhau nên sự phân biệt này không bao giờ lộ ra. Chính vì thế Cambridge ra đề với lớp rộng khác nhau — đó là cách duy nhất kiểm tra được người làm có thật sự hiểu hay chỉ đang đọc chiều cột.
Trục đứng của histogram ghi mật độ tần số. Còn biểu đồ cột (bar chart) thì có khe hở giữa các cột và trục đứng ghi tần số thuần.
Biểu đồ phân tán. Mô tả tương quan bằng hai chữ: một chỉ chiều, một chỉ độ mạnh — “thuận mạnh”, “nghịch yếu”, “không có tương quan”.
- Thuận: đại lượng này tăng thì đại lượng kia cũng tăng;
- Nghịch: đại lượng này tăng thì đại lượng kia giảm;
- Mạnh: các điểm nằm sát một đường thẳng.
Đường thẳng phù hợp nhất. Vẽ sao cho nó bám xu hướng với số điểm hai bên xấp xỉ bằng nhau; nó không bắt buộc đi qua gốc toạ độ, và nên đi qua điểm $(\bar{x},\bar{y})$ nếu đã tính được.
Dùng nó để ước lượng trong phạm vi dữ liệu. Đọc xa ra ngoài phạm vi đó là không đáng tin, vì không có bằng chứng nào cho thấy xu hướng còn tiếp tục — câu hỏi “ước lượng này có đáng tin không?” gần như luôn muốn nghe câu trả lời ấy.
Tương quan không phải nhân quả. Hai đại lượng có thể tương quan mạnh vì một đại lượng thứ ba chi phối cả hai. Nói “$x$ gây ra $y$” chỉ dựa trên một biểu đồ phân tán là không có cơ sở.
Một histogram có ba lớp. Lớp $0
(a) Độ rộng lớp thứ nhất là $5-0=5$:
$$\text{mật độ tần số}=\frac{30}{5}=6$$(b) Độ rộng lớp thứ ba là $30-15=15$:
$$\text{tần số}=2.4\times 15=36$$Điều đáng chú ý. Lớp thứ ba có mật độ tần số $2{,}4$ — thấp hơn lớp thứ nhất ($6$) — nhưng lại chứa nhiều dữ liệu hơn ($36$ so với $30$), vì nó rộng gấp ba lần.
Đây chính là điều mà biểu đồ tần suất được thiết kế để thể hiện, và cũng là điều mà người đọc chiều cột sẽ hiểu ngược. Ai nhìn hình rồi kết luận “lớp đầu đông nhất vì cột cao nhất” đã đọc sai hoàn toàn — cột cao nghĩa là dữ liệu đặc, không có nghĩa là dữ liệu nhiều.
Một cách nhớ: mật độ tần số trả lời câu hỏi “bao nhiêu giá trị trên mỗi đơn vị chiều rộng”, giống như mật độ dân số trả lời “bao nhiêu người trên mỗi km²”. Một quận nhỏ có thể đông đúc hơn mà vẫn ít dân hơn một tỉnh rộng.
Biểu đồ phân tán so số giờ ôn tập (từ $0$ tới $12$ giờ) với điểm kiểm tra của $20$ học sinh; các điểm bám khá sát một đường đi lên. (a) Mô tả tương quan. (b) Dùng đường phù hợp nhất để ước lượng điểm của một em ôn $7$ giờ, và của một em ôn $25$ giờ; nhận xét về độ tin cậy của mỗi ước lượng. (c) Một học sinh kết luận “ôn nhiều giờ làm điểm cao hơn”. Bình luận.
(a) Tương quan thuận mạnh: ôn nhiều giờ hơn thì điểm có xu hướng cao hơn, và các điểm nằm sát đường thẳng.
Hai chữ, không phải một: “thuận” chỉ chiều, “mạnh” chỉ độ chụm. Chỉ viết “thuận” là mất nửa điểm.
(b) Với $7$ giờ: đọc thẳng từ đường phù hợp nhất. Giá trị $7$ nằm trong dải dữ liệu ($0$ tới $12$), nên ước lượng này đáng tin.
Với $25$ giờ: giá trị này nằm xa ngoài dải dữ liệu. Không có học sinh nào trong mẫu ôn quá $12$ giờ, nên không có bằng chứng gì cho thấy xu hướng tuyến tính còn đúng ở đó. Trên thực tế điểm số có trần, nên đường thẳng kéo dài sẽ cho ra một số điểm không thể đạt được. Ước lượng này không đáng tin.
(c) Biểu đồ chỉ cho thấy hai đại lượng đi cùng chiều với nhau, không cho thấy cái nào gây ra cái nào.
Có thể có một yếu tố thứ ba chi phối cả hai — chẳng hạn học sinh có động lực học tốt thì vừa ôn nhiều giờ hơn vừa tiếp thu tốt hơn trên lớp. Khi ấy giờ ôn và điểm số cùng tăng theo động lực, mà không cái nào gây ra cái nào.
Vậy kết luận nhân quả đó không có cơ sở từ riêng biểu đồ này. Muốn khẳng định nhân quả cần một thiết kế nghiên cứu khác, không phải một biểu đồ phân tán.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Statistics gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.