Mục lục bài họcĐang ở d02-b1
Quadratic equations: factorising, formula, discriminant
Three tools, three jobs
For $ax^{2}+bx+c=0$ there are three techniques, and the exam expects you to pick the right one:
- Factorising — fastest, but only works when the roots are rational. For $a\ne 1$, look for two numbers whose product is $ac$ and whose sum is $b$, then split the middle term.
- The formula $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ — always works. Use it whenever the question says "correct to 2 decimal places", because that phrase means the roots are irrational.
- Completing the square — the only one that also gives the turning point.
The discriminant
$$\Delta=b^{2}-4ac$$- $\Delta>0$: two distinct real roots;
- $\Delta=0$: one repeated root — the curve touches the $x$-axis;
- $\Delta<0$: no real roots.
When a question gives an unknown coefficient $k$ and a condition on the number of roots, it is a discriminant question, and the answer is an inequality in $k$, not a number.
Never divide by the variable
From $x^{2}=5x$, dividing both sides by $x$ gives $x=5$ and destroys the root $x=0$. Always move everything to one side and factorise: $x^{2}-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0$.
Ba công cụ, ba việc khác nhau. Với $ax^{2}+bx+c=0$:
- Phân tích thành nhân tử — nhanh nhất, nhưng chỉ dùng được khi nghiệm hữu tỉ. Khi $a\ne 1$, tìm hai số có tích $ac$ và tổng $b$, rồi tách hạng tử giữa.
- Công thức nghiệm $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ — luôn dùng được. Hễ đề ghi “correct to 2 decimal places” thì đó là tín hiệu nghiệm vô tỉ, dùng ngay công thức, đừng mất thời gian thử phân tích.
- Hoàn thành bình phương — công cụ duy nhất còn cho luôn toạ độ đỉnh.
Biệt thức. $\Delta=b^{2}-4ac$: dương thì hai nghiệm phân biệt; bằng $0$ thì nghiệm kép, đồ thị tiếp xúc trục hoành; âm thì vô nghiệm thực.
Đề cho một hệ số chứa $k$ kèm điều kiện về số nghiệm thì đó là câu biệt thức, và đáp số là một bất phương trình theo $k$, không phải một con số. Nhớ kèm điều kiện $a\ne 0$ nếu $k$ đứng ở hệ số của $x^{2}$ — bỏ sót chỗ này là mất một điểm gần như chắc chắn.
Tuyệt đối không chia hai vế cho biến. Từ $x^{2}=5x$, chia hai vế cho $x$ ra $x=5$ và làm mất nghiệm $x=0$. Luôn chuyển hết về một vế rồi phân tích: $x^{2}-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0$, được $x=0$ hoặc $x=5$.
Phương trình $kx^{2}+6x+3=0$ có hai nghiệm thực phân biệt. Tìm tập giá trị của $k$.
Bước 1 — điều kiện để nó thật sự là phương trình bậc hai. Nếu $k=0$ thì phương trình thành $6x+3=0$, bậc nhất, chỉ có một nghiệm. Vậy cần $k\ne 0$.
Bước 2 — biệt thức dương. Ở đây $a=k$, $b=6$, $c=3$:
$$\Delta=6^{2}-4\cdot k\cdot 3=36-12k>0$$$$12k<36\;\Longrightarrow\;k<3$$Bước 3 — gộp hai điều kiện.
$$k<3\quad\text{và}\quad k\ne 0$$Bỏ điều kiện $k\ne 0$ là lỗi mất điểm phổ biến nhất ở dạng này, vì $k=0$ thoả $k<3$ nhưng lại cho phương trình bậc nhất. Chú ý thêm: $k$ âm vẫn hợp lệ — parabol quay xuống nhưng vẫn cắt trục hoành hai lần.
Giải phương trình $2x^{2}+7x=0$, và giải thích vì sao cách “chia hai vế cho $x$” cho thiếu nghiệm.
Cách đúng — chuyển hết về một vế rồi đặt nhân tử chung:
$$x(2x+7)=0\;\Longrightarrow\;x=0\quad\text{hoặc}\quad x=-\frac{7}{2}$$Vì sao chia cho $x$ là sai. Chia hai vế cho $x$ được $2x+7=0$, tức chỉ còn $x=-3{,}5$. Phép chia đó ngầm giả định $x\ne 0$ — mà $x=0$ lại đúng là một nghiệm. Nói cách khác, ta đã vứt bỏ nghiệm trước khi đi tìm nó.
Quy tắc chặn: khi hai vế đều chứa biến, không bao giờ chia; chuyển hết về một vế cho bằng $0$ rồi phân tích. Dấu hiệu nhận ra mình vừa mất nghiệm: phương trình bậc hai mà chỉ ra một nghiệm, trong khi $\Delta=49>0$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Algebra and graphs gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.