Mục lục bài họcĐang ở d06-b3
Three dimensions, and the shapes of the graphs
Trigonometry in three dimensions
A 3D question is never solved in 3D. The method is always:
- Find a right-angled triangle inside the solid and draw it separately, flat on the page;
- label its three sides with real lengths;
- solve it with ordinary 2D trigonometry;
- if necessary, carry a length from that triangle into a second one.
The most common such triangle is the one containing the space diagonal of a cuboid:
$$d=\sqrt{l^{2}+w^{2}+h^{2}}$$This comes from applying Pythagoras twice — first across the base, then up to the far corner.
The angle between a line and a plane
Drop a perpendicular from the far end of the line onto the plane. The angle you want is in the right-angled triangle formed by the line, that perpendicular, and the line joining their feet — not the angle at the top of the solid.
Graphs of sine and cosine
- $y=\sin x$ starts at $0$, peaks at $x=90^{\circ}$, returns to $0$ at $180^{\circ}$, bottoms at $270^{\circ}$;
- $y=\cos x$ starts at $1$, is $0$ at $90^{\circ}$, bottoms at $180^{\circ}$;
- both repeat every $360^{\circ}$ and stay between $-1$ and $1$.
The graph is the tool for counting solutions: draw the horizontal line $y=k$ and count crossings in the given range. $\sin x=0.5$ has two solutions between $0^{\circ}$ and $360^{\circ}$, at $30^{\circ}$ and $150^{\circ}$.
Lượng giác trong không gian. Không bao giờ giải một bài không gian bằng cách nghĩ trong không gian. Quy trình luôn là:
- Tìm một tam giác vuông nằm trong khối và vẽ nó ra riêng, phẳng trên giấy;
- ghi ba cạnh của nó bằng độ dài thật;
- giải bằng lượng giác hai chiều bình thường;
- nếu cần, mang một độ dài từ tam giác đó sang tam giác thứ hai.
Tam giác hay gặp nhất là tam giác chứa đường chéo không gian của hình hộp chữ nhật:
$$d=\sqrt{l^{2}+w^{2}+h^{2}}$$Công thức này chỉ là Pythagoras áp hai lần — lần đầu trên mặt đáy, lần sau đi lên tới đỉnh đối diện.
Góc giữa một đường và một mặt phẳng. Hạ đường vuông góc từ đầu xa của đường xuống mặt phẳng. Góc cần tìm nằm trong tam giác vuông tạo bởi đường đó, đoạn vuông góc vừa hạ, và đoạn nối hai chân — không phải góc ở đỉnh khối.
Đồ thị sin và cosin.
- $y=\sin x$ xuất phát từ $0$, đạt đỉnh tại $x=90^{\circ}$, về $0$ tại $180^{\circ}$, xuống đáy tại $270^{\circ}$;
- $y=\cos x$ xuất phát từ $1$, bằng $0$ tại $90^{\circ}$, xuống đáy tại $180^{\circ}$;
- cả hai lặp lại sau mỗi $360^{\circ}$ và luôn nằm giữa $-1$ và $1$.
Đồ thị là công cụ để đếm nghiệm: vẽ đường ngang $y=k$ rồi đếm số giao điểm trong khoảng đề cho. Phương trình $\sin x=0{,}5$ có hai nghiệm giữa $0^{\circ}$ và $360^{\circ}$, tại $30^{\circ}$ và $150^{\circ}$.
Một cột cao $45$ m đứng thẳng đứng. Một người đứng cách chân cột $60$ m trên mặt đất phẳng. Tính góc nâng từ mắt người đó (coi như ở mặt đất) tới đỉnh cột, làm tròn đến 1 chữ số thập phân.
Bước 1 — vẽ tam giác vuông. Cột là cạnh đứng $45$ m, khoảng cách trên mặt đất là cạnh ngang $60$ m, góc nâng $\theta$ nằm ở chỗ người đứng.
Bước 2 — gán nhãn theo góc $\theta$. Cột là cạnh đối, mặt đất là cạnh kề. Cặp đối–kề gọi tên hàm tang:
$$\tan\theta=\frac{45}{60}=0.75$$Bước 3 — hàm ngược.
$$\theta=\tan^{-1}(0.75)=36.9^{\circ}$$Kiểm hợp lý. Cạnh đối ngắn hơn cạnh kề nên góc phải nhỏ hơn $45^{\circ}$ ✓. Nếu ra $53{,}1^{\circ}$ thì đã bấm $\tan^{-1}(60/45)$ — đảo tử với mẫu, và hai đáp số này cộng lại đúng $90^{\circ}$, dấu hiệu quen thuộc của lỗi đảo cạnh.
Chú ý thuật ngữ: góc nâng đo từ phương ngang lên; góc hạ đo từ phương ngang xuống. Hai góc này bằng nhau khi nhìn qua lại giữa hai điểm — chúng là cặp góc so le trong với hai đường ngang song song.
Một hình hộp chữ nhật có các kích thước $10$ cm, $8$ cm và $6$ cm. (a) Tính độ dài đường chéo không gian. (b) Tính góc giữa đường chéo đó và mặt đáy. Làm tròn đến 1 chữ số thập phân.
(a) Pythagoras hai lần. Trước hết đường chéo của mặt đáy:
$$d_{\text{đáy}}=\sqrt{10^{2}+8^{2}}=\sqrt{164}=12.806\ \text{cm}$$Đường chéo đáy này và cạnh đứng $6$ cm tạo thành một tam giác vuông mới, với đường chéo không gian là cạnh huyền:
$$d=\sqrt{164+6^{2}}=\sqrt{200}=14.1\ \text{cm}$$(b) Góc với mặt đáy. Chính trong tam giác vuông thứ hai đó: cạnh đối là chiều cao $6$, cạnh kề là đường chéo đáy $12{,}806$.
$$\tan\theta=\frac{6}{12.806}=0.46853\;\Longrightarrow\;\theta=25.1^{\circ}$$Điều quan trọng nhất của bài này không phải hai con số mà là thao tác: vẽ tam giác thứ hai ra riêng trên giấy, ghi $12{,}806$ và $6$ vào hai cạnh, rồi giải như một bài phẳng bình thường. Cố nhìn góc đó ngay trên hình hộp ba chiều là cách chắc chắn để nhầm cạnh kề với cạnh huyền.
Lưu ý dùng $12{,}806$ chứ không dùng $12{,}8$ đã làm tròn — làm tròn ở bước trung gian rồi mới dùng tiếp là nguồn lệch số thứ hai của chương này.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Trigonometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.