Mục lục bài họcĐang ở d08-b1
Single events, complements and expected frequency
The definition
$$P(\text{event})=\frac{\text{number of favourable outcomes}}{\text{total number of equally likely outcomes}}$$Every probability lies between $0$ and $1$. An answer outside that range, or a "probability" bigger than $1$, is a signal to stop and re-read — not to round.
The complement
$$P(\text{not }A)=1-P(A)$$This is the most useful single line in the chapter, because many questions that look long are short when turned around. "At least one" is almost always easier as $1-P(\text{none})$.
Expected frequency
$$\text{expected number}=P(\text{event})\times \text{number of trials}$$The answer is a prediction, not a guarantee, and it need not be a whole number — writing $37.5$ is correct if that is what the arithmetic gives.
Relative frequency
$$\text{relative frequency}=\frac{\text{number of times it happened}}{\text{number of trials}}$$This is an estimate of probability from data, and it gets more reliable as the number of trials grows. A question asking "is the spinner fair?" wants a comparison between the relative frequency and the theoretical probability, plus a comment about how many trials there were.
Định nghĩa.
$$P(\text{biến cố})=\frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả đồng khả năng}}$$Mọi xác suất nằm giữa $0$ và $1$. Một đáp số nằm ngoài khoảng đó — hay một “xác suất” lớn hơn $1$ — là tín hiệu phải dừng lại đọc lại đề, không phải làm tròn cho gọn.
Phần bù.
$$P(\text{không }A)=1-P(A)$$Đây là dòng hữu ích nhất của cả chương, vì nhiều câu trông dài lại rất ngắn khi lật ngược. Cụm “ít nhất một” gần như luôn dễ hơn khi tính bằng $1-P(\text{không có cái nào})$.
Tần số mong đợi.
$$\text{số lần dự đoán}=P(\text{biến cố})\times \text{số lần thử}$$Kết quả là một dự đoán, không phải cam kết, và không nhất thiết là số nguyên — viết $37{,}5$ là đúng nếu phép tính ra thế. Làm tròn thành $38$ khi đề không yêu cầu là tự thêm một sai số không cần thiết.
Tần suất tương đối.
$$\text{tần suất tương đối}=\frac{\text{số lần xảy ra}}{\text{số lần thử}}$$Đây là ước lượng xác suất từ dữ liệu, và càng nhiều lần thử thì càng đáng tin. Câu hỏi “con quay có cân không?” đòi hai thứ: so tần suất tương đối với xác suất lý thuyết, và một nhận xét về số lần thử — $60$ lần thử thì chênh lệch nhỏ chưa nói lên gì, còn $6000$ lần thì có.
Một túi có $5$ viên bi đỏ, $3$ viên xanh dương và $4$ viên xanh lá. Lấy ngẫu nhiên một viên. (a) Tính xác suất viên lấy được không phải màu đỏ. (b) Nếu lặp lại thí nghiệm này (có hoàn lại) $400$ lần, dự đoán số lần lấy được viên xanh dương.
(a) Hai cách, chọn cách ngắn. Tổng số bi là $5+3+4=12$.
Cách đếm trực tiếp: số bi không đỏ là $3+4=7$, nên $P=\dfrac{7}{12}$.
Cách phần bù: $P(\text{đỏ})=\dfrac{5}{12}$, nên
$$P(\text{không đỏ})=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$$Ở bài này hai cách nhanh như nhau. Nhưng khi số màu nhiều hơn — “không phải đỏ và không phải vàng và không phải tím” — thì cách phần bù ngắn hơn hẳn, nên nên tập dùng nó ngay từ những bài dễ.
(b) Tần số mong đợi.
$$P(\text{xanh dương})=\frac{3}{12}=0.25$$$$\text{dự đoán}=0.25\times 400=100\ \text{lần}$$Chú ý cách diễn đạt: đây là con số dự đoán. Thực tế chạy $400$ lần rất có thể ra $94$ hay $107$ — điều đó không mâu thuẫn với kết quả trên.
Một con quay có $5$ ô bằng nhau, trong đó một ô màu đỏ. Quay $300$ lần thì $63$ lần ra đỏ. (a) Tính tần suất tương đối của màu đỏ. (b) Con quay có vẻ cân không?
(a)
$$\text{tần suất tương đối}=\frac{63}{300}=0.21$$(b) So với xác suất lý thuyết. Nếu con quay cân thì mỗi ô có xác suất $\dfrac{1}{5}=0{,}2$.
Tần suất quan sát được là $0{,}21$, chênh $0{,}01$ so với $0{,}2$. Với $300$ lần quay, số lần ra đỏ dự đoán là $0{,}2\times 300=60$, còn thực tế là $63$ — lệch $3$ lần.
Kết luận: chênh lệch nhỏ như vậy hoàn toàn nằm trong mức dao động bình thường của $300$ lần thử, nên không có bằng chứng cho thấy con quay không cân.
Điều quan trọng ở dạng câu này là số lần thử phải được nhắc tới. Cùng tần suất $0{,}21$ nhưng nếu quay $30\,000$ lần thì kết luận đảo ngược: khi ấy $0{,}01$ là một sai lệch lớn hơn nhiều so với dao động ngẫu nhiên, và có cơ sở để nghi con quay lệch. Một câu trả lời chỉ so hai con số mà không nói tới số lần thử thì chưa đủ.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Probability gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.