Mục lục bài họcĐang ở d07-b3
Position vectors and geometric proof
The one method
Almost every vector proof in 0580 follows the same route. Two base vectors are given, usually $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$. Then:
- express every vector in the diagram in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$;
- get from one point to another by travelling along vectors you already know, in any route;
- compare the two expressions you care about.
Any route gives the same answer, because vector addition does not depend on the path.
Standard results to build from
$$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$$$$M\text{ the midpoint of }AB:\quad \overrightarrow{OM}=\tfrac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})$$$$P\text{ on }AB\text{ with }AP:PB=m:n:\quad \overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\frac{m}{m+n}(\mathbf{b}-\mathbf{a})$$The last one is the first one applied to a fraction of the journey: start at $A$, then travel a fraction of the way along $\overrightarrow{AB}$.
Reading the conclusion off the algebra
- $\overrightarrow{XY}=k\,\overrightarrow{AB}$ → the lines are parallel;
- the same, and $X$ lies on $AB$ → the points are collinear;
- $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{AB}$ exactly → $ABYX$ is a parallelogram;
- $k$ is also the ratio of the lengths.
The final mark is for saying which of these it is, in words.
Chỉ có một phương pháp. Gần như mọi bài chứng minh vectơ của 0580 đi theo cùng một đường. Đề cho hai vectơ gốc, thường là $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ và $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$. Sau đó:
- viết mọi vectơ trong hình theo $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$;
- đi từ điểm này tới điểm kia bằng cách men theo những vectơ đã biết, đi đường nào cũng được;
- so hai biểu thức mà đề quan tâm.
Đi đường nào cũng ra cùng kết quả, vì phép cộng vectơ không phụ thuộc đường đi. Đây là điều làm phần này dễ hơn vẻ ngoài của nó: không có “đường đúng” nào phải tìm ra, chỉ cần một đường đi được.
Ba kết quả gốc để dựng tiếp.
$$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$$$$M\text{ là trung điểm }AB:\quad \overrightarrow{OM}=\tfrac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})$$$$P\text{ trên }AB\text{ với }AP:PB=m:n:\quad \overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\frac{m}{m+n}(\mathbf{b}-\mathbf{a})$$Kết quả thứ ba chỉ là kết quả thứ nhất áp cho một phần quãng đường: xuất phát từ $A$, rồi đi một phân số của $\overrightarrow{AB}$. Mẫu số luôn là tổng hai phần.
Đọc kết luận ra từ biểu thức.
- $\overrightarrow{XY}=k\,\overrightarrow{AB}$ → hai đoạn song song;
- vẫn thế, và $X$ nằm trên $AB$ → ba điểm thẳng hàng;
- $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{AB}$ đúng bằng nhau → $ABYX$ là hình bình hành;
- hệ số $k$ đồng thời là tỉ số độ dài.
Điểm cuối cùng của câu nằm ở chỗ nói ra bằng chữ đó là trường hợp nào — một biểu thức đại số đứng trơ trọi không phải một chứng minh.
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ và $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$. (a) Viết $\overrightarrow{AB}$ theo $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$. (b) $M$ là trung điểm của $AB$; viết $\overrightarrow{OM}$. (c) $P$ nằm trên $AB$ với $AP:PB=2:1$; viết $\overrightarrow{OP}$.
(a) Đến trừ đi:
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$$(b) Đi từ $O$ tới $A$, rồi đi nửa đoạn $AB$:
$$\overrightarrow{OM}=\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{a}=\tfrac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})$$Kiểm bằng đường khác: đi từ $O$ tới $B$ rồi lùi nửa đoạn $BA$ được $\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}(\mathbf{a}-\mathbf{b})=\tfrac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ ✓ — cùng kết quả, đúng như phải thế.
(c) Tỉ số $2:1$ chia $AB$ thành $3$ phần, và $P$ ở hai phần ba quãng đường tính từ $A$:
$$\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\tfrac{2}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\mathbf{a}+\tfrac{2}{3}\mathbf{b}-\tfrac{2}{3}\mathbf{a}=\tfrac{1}{3}\mathbf{a}+\tfrac{2}{3}\mathbf{b}$$Chú ý mẫu số là $3$, tức tổng hai phần của tỉ số, không phải phần thứ hai. Và kết quả có một tính chất đáng nhớ: hai hệ số cộng lại bằng $1$ — điều đúng cho mọi điểm nằm trên đoạn $AB$, nên nó là phép kiểm nhanh cho cả dạng bài.
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$. $C$ thoả $\overrightarrow{OC}=3\mathbf{b}-2\mathbf{a}$. Chứng minh $A$, $B$, $C$ thẳng hàng, và tìm tỉ số $AB:BC$.
Bước 1 — viết hai vectơ có chung một điểm. Chọn $B$ làm điểm chung:
$$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$$$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(3\mathbf{b}-2\mathbf{a})-\mathbf{b}=2\mathbf{b}-2\mathbf{a}$$Bước 2 — thử bội số.
$$\overrightarrow{BC}=2(\mathbf{b}-\mathbf{a})=2\,\overrightarrow{AB}$$Bước 3 — kết luận bằng chữ. $\overrightarrow{BC}$ là bội số của $\overrightarrow{AB}$ nên hai đoạn song song; mà chúng lại có chung điểm $B$, nên ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên một đường thẳng.
Tỉ số độ dài. Hệ số bội là $2$, nên $BC=2\,AB$, tức
$$AB:BC=1:2$$Hai điểm phải nhớ. Một: phải chọn hai vectơ có chung một điểm — nếu tính $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{OC}$ thì có song song cũng không kết luận được thẳng hàng. Hai: câu cuối bằng chữ là phần mang điểm; dòng $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}$ đứng một mình chưa phải là chứng minh thẳng hàng.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Transformations and vectors gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.