Mục lục bài họcĐang ở d03-b3
Putting it together: intersections and proofs
Where two lines meet
The point of intersection satisfies both equations, so solving the pair simultaneously gives its coordinates. If the two lines are parallel there is no solution — algebraically, the variables cancel and you are left with a false statement such as $0=7$. That is not a mistake; it is the answer.
Showing that a shape has a property
Coordinate geometry turns geometric claims into arithmetic:
- parallel — equal gradients;
- perpendicular — gradients multiply to $-1$;
- equal lengths — equal values from the distance formula;
- bisects — the midpoint of one segment lies on the other;
- collinear — the gradient from $A$ to $B$ equals the gradient from $B$ to $C$.
A question that says "show that $ABCD$ is a parallelogram" is asking for two gradient calculations, nothing more. Write the calculation and then state the conclusion in words — the final mark is for the sentence, not for the numbers.
A useful check
After finding an intersection, substitute it back into both original equations. One substitution only proves you solved one of them.
Giao điểm của hai đường. Giao điểm thoả cả hai phương trình, nên giải hệ là ra toạ độ. Nếu hai đường song song thì hệ vô nghiệm — về mặt đại số, biến triệt tiêu hết và còn lại một mệnh đề sai kiểu $0=7$. Đó không phải lỗi tính toán; đó chính là câu trả lời, và phải viết ra thành chữ “hai đường song song nên không cắt nhau”.
Chứng minh một hình có tính chất nào đó. Hình học toạ độ biến mọi khẳng định hình học thành phép tính số:
- song song — hai hệ số góc bằng nhau;
- vuông góc — tích hai hệ số góc bằng $-1$;
- bằng nhau về độ dài — hai lần áp công thức khoảng cách cho cùng một số;
- chia đôi — trung điểm của đoạn này nằm trên đường kia;
- thẳng hàng — hệ số góc từ $A$ tới $B$ bằng hệ số góc từ $B$ tới $C$.
Câu “show that $ABCD$ is a parallelogram” chỉ đòi hai phép tính hệ số góc, không hơn. Tính xong thì viết kết luận thành câu — điểm cuối cùng nằm ở câu chữ, không ở dãy số. Rất nhiều bài làm đúng hết phép tính rồi mất điểm chỉ vì không có dòng “vậy $AB$ song song $DC$ và $AD$ song song $BC$, nên $ABCD$ là hình bình hành”.
Một phép kiểm nên có. Tìm được giao điểm thì thay ngược vào cả hai phương trình gốc. Thay vào một phương trình chỉ chứng tỏ đã giải đúng một nửa.
Tìm toạ độ giao điểm của $y=2x-5$ và $x+y=4$.
Bước 1 — thế. Đường thứ nhất đã cho $y$ theo $x$, nên thay thẳng vào đường thứ hai:
$$x+(2x-5)=4\;\Longrightarrow\;3x=9\;\Longrightarrow\;x=3$$Bước 2 — quay lại lấy $y$.
$$y=2(3)-5=1$$Giao điểm là $(3,1)$.
Bước 3 — kiểm bằng cả hai phương trình. Đường thứ nhất: $2(3)-5=1$ ✓. Đường thứ hai: $3+1=4$ ✓.
Bước 3 tưởng thừa nhưng không thừa: lỗi hay gặp nhất ở dạng này là tìm đúng $x$ rồi thay vào phương trình vừa biến đổi chứ không phải phương trình gốc, nên một sai sót ở bước 1 sẽ tự “xác nhận” chính nó.
$A(1,2)$, $B(5,4)$, $C(7,9)$ và $D(3,7)$. Chứng minh $ABCD$ là hình bình hành.
Hình bình hành cần hai cặp cạnh đối song song, tức hai cặp hệ số góc bằng nhau.
Cặp thứ nhất:
$$m_{AB}=\frac{4-2}{5-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\qquad m_{DC}=\frac{9-7}{7-3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$Cặp thứ hai:
$$m_{AD}=\frac{7-2}{3-1}=\frac{5}{2},\qquad m_{BC}=\frac{9-4}{7-5}=\frac{5}{2}$$Kết luận. $m_{AB}=m_{DC}$ nên $AB\parallel DC$; $m_{AD}=m_{BC}$ nên $AD\parallel BC$. Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, vậy $ABCD$ là hình bình hành.
Hai điều đáng chú ý. Một: phải so đúng cặp cạnh đối — so $AB$ với $BC$ là so hai cạnh kề, không kết luận được gì. Hai: dòng kết luận bằng chữ ở cuối là phần mang điểm cuối cùng của câu; bốn phân số đứng trơ trọi không phải là một chứng minh.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Coordinate geometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.