Mục lục bài họcĐang ở d04-b3
Congruence, similarity and scale factors
Congruent or similar?
Congruent means identical in shape and size. The valid criteria are SSS, SAS, ASA (or AAS) and RHS. "SSA" is not a criterion — two sides and a non-included angle can produce two different triangles.
Similar means identical in shape only. For triangles, showing that two pairs of angles are equal is enough, because the third pair follows automatically.
The three scale factors
If two similar shapes have lengths in the ratio $k$, then
$$\frac{\text{lengths}}{\text{lengths}}=k,\qquad \frac{\text{areas}}{\text{areas}}=k^{2},\qquad \frac{\text{volumes}}{\text{volumes}}=k^{3}$$This is the single most reliable source of lost marks in the whole syllabus. A question giving areas and asking for a length needs the square root first; a question giving volumes and asking for an area needs the cube root and then a squaring.
Working from areas or volumes backwards
Given areas $45$ and $125$: the area factor is $\dfrac{125}{45}=\dfrac{25}{9}$, so the length factor is $\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{5}{3}$.
Given volumes $24$ and $81$: the volume factor is $\dfrac{81}{24}=\dfrac{27}{8}$, so the length factor is $\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\dfrac{3}{2}$.
Bằng nhau hay đồng dạng? Bằng nhau (congruent) là giống cả hình dạng lẫn kích thước. Bốn trường hợp hợp lệ: SSS, SAS, ASA (hoặc AAS) và RHS. “SSA” không phải trường hợp bằng nhau — hai cạnh và một góc không xen giữa có thể dựng ra hai tam giác khác nhau.
Đồng dạng (similar) là giống hình dạng thôi. Với tam giác, chỉ cần chỉ ra hai cặp góc bằng nhau là đủ, vì cặp thứ ba tự khắc bằng theo.
Ba tỉ số. Nếu hai hình đồng dạng có tỉ số độ dài là $k$ thì
$$\frac{\text{độ dài}}{\text{độ dài}}=k,\qquad \frac{\text{diện tích}}{\text{diện tích}}=k^{2},\qquad \frac{\text{thể tích}}{\text{thể tích}}=k^{3}$$Đây là nguồn mất điểm ổn định nhất của cả syllabus — không phải vì khó, mà vì nó không báo lỗi: dùng $k$ ở chỗ đáng lẽ dùng $k^{2}$ vẫn ra một con số trông hợp lý.
Đi ngược từ diện tích hoặc thể tích. Cho hai diện tích $45$ và $125$: tỉ số diện tích là $\dfrac{125}{45}=\dfrac{25}{9}$, nên tỉ số độ dài là $\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{5}{3}$.
Cho hai thể tích $24$ và $81$: tỉ số thể tích là $\dfrac{81}{24}=\dfrac{27}{8}$, nên tỉ số độ dài là $\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\dfrac{3}{2}$.
Quy tắc gọn: mọi con đường đều đi qua tỉ số độ dài. Có diện tích thì khai căn về độ dài trước; cần thể tích thì từ độ dài lập phương lên. Đừng bao giờ đi thẳng từ diện tích sang thể tích.
Hai tam giác đồng dạng có diện tích $45$ cm² và $125$ cm². Cạnh tương ứng của tam giác nhỏ dài $6$ cm. Tính cạnh tương ứng của tam giác lớn.
Bước 1 — tỉ số diện tích.
$$\frac{125}{45}=\frac{25}{9}$$Bước 2 — về tỉ số độ dài bằng cách khai căn. Tỉ số diện tích là $k^{2}$, nên
$$k=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$$Bước 3 — nhân với cạnh đã biết.
$$6\times\frac{5}{3}=10\ \text{cm}$$Vì sao không được nhân thẳng. Lấy $6\times\dfrac{125}{45}=16{,}7$ cm là dùng tỉ số diện tích cho một độ dài. Kiểm lại: nếu cạnh là $16{,}7$ thì tỉ số độ dài là $2{,}78$, và tỉ số diện tích phải là $2{,}78^{2}=7{,}7$ — nhưng đề cho tỉ số diện tích chỉ là $2{,}78$. Mâu thuẫn. Con số $16{,}7$ không có gì trông bất thường, nên phép kiểm này là cách duy nhất bắt được.
Hai hình nón đồng dạng có thể tích $24$ cm³ và $81$ cm³. Diện tích toàn phần của hình nón nhỏ là $32$ cm². Tính diện tích toàn phần của hình nón lớn.
Bước 1 — về tỉ số độ dài trước. Không có đường tắt nào từ thể tích sang diện tích.
$$k^{3}=\frac{81}{24}=\frac{27}{8}\;\Longrightarrow\;k=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}$$Bước 2 — từ độ dài lên diện tích.
$$k^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$Bước 3 — nhân.
$$32\times\frac{9}{4}=72\ \text{cm}^{2}$$Ba bước, và bước 1 là bắt buộc. Đi thẳng $32\times\dfrac{81}{24}=108$ cm² là dùng tỉ số thể tích cho một diện tích — sai, và con số $108$ trông rất hợp lý nên không tự lộ.
Cách nhớ: mọi đường đều đi qua $k$. Có gì cũng quy về $k$ trước, rồi từ $k$ đi tới thứ cần tìm.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Geometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.