Mục lục bài họcĐang ở d07-b2
Column vectors
Notation and arithmetic
A column vector $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ means "$a$ across, $b$ up". Addition, subtraction and multiplication by a number all act on the two components separately:
$$\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix},\qquad 2\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}$$Magnitude
$$\left|\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$This is Pythagoras again. The magnitude is never negative, whatever the signs of the components.
Vectors between points
The vector from $A$ to $B$ is found by finish minus start:
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$The order matters: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$, same length, opposite direction.
What "parallel" means for vectors
Two vectors are parallel exactly when one is a number multiple of the other:
$$\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\;\Longrightarrow\;\text{parallel}$$This single fact carries every "prove that $XY$ is parallel to $AB$" question in the syllabus. If two vectors also share a point, being parallel makes the three points collinear.
Ký hiệu và phép tính. Vectơ cột $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ nghĩa là “$a$ theo phương ngang, $b$ theo phương đứng”. Phép cộng, trừ và nhân với một số đều tác động lên từng thành phần riêng:
$$\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix},\qquad 2\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}$$Độ lớn.
$$\left|\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$Lại là Pythagoras. Độ lớn không bao giờ âm, bất kể dấu của hai thành phần.
Vectơ nối hai điểm. Lấy điểm đến trừ điểm đi:
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$Thứ tự quan trọng: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$, cùng độ dài, ngược chiều.
“Song song” với vectơ nghĩa là gì. Hai vectơ song song đúng khi cái này là bội số của cái kia:
$$\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\;\Longrightarrow\;\text{song song}$$Chỉ một sự kiện này gánh toàn bộ các câu “chứng minh $XY$ song song với $AB$” trong syllabus. Nếu hai vectơ song song mà lại chung một điểm thì ba điểm liên quan thẳng hàng — đó là cách chứng minh thẳng hàng duy nhất mà 0580 yêu cầu.
Cho $\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ và $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$. Tính $2\mathbf{a}-\mathbf{b}$ và độ lớn của kết quả.
Bước 1 — nhân trước.
$$2\mathbf{a}=\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}$$Bước 2 — trừ từng thành phần. Chú ý dấu trừ phân phối vào cả hai thành phần của $\mathbf{b}$:
$$2\mathbf{a}-\mathbf{b}=\begin{pmatrix}6-(-1)\\-4-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-8\end{pmatrix}$$Bước 3 — độ lớn.
$$\left|2\mathbf{a}-\mathbf{b}\right|=\sqrt{7^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{49+64}=\sqrt{113}=10.63$$Lỗi hay gặp nhất ở bước 2 là viết $-4-(-4)$ hoặc $-4+4$ — quên rằng thành phần thứ hai của $\mathbf{b}$ là $+4$, nên trừ nó đi phải ra $-8$. Viết hẳn dấu ngoặc như trên là cách chặn rẻ nhất.
$A(1,2)$, $B(5,4)$, $C(2,7)$ và $D(8,10)$. Chứng minh $AB$ song song với $CD$, và cho biết $CD$ dài gấp mấy lần $AB$.
Bước 1 — viết hai vectơ, mỗi cái là “đến trừ đi”.
$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}5-1\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}8-2\\10-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}$$Bước 2 — thử xem cái này có phải bội của cái kia không.
$$\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}=1.5\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$$Đúng là bội số, nên $\overrightarrow{CD}=1{,}5\,\overrightarrow{AB}$ và hai đoạn song song.
Bước 3 — tỉ số độ dài. Vì hệ số là $1{,}5$, đoạn $CD$ dài gấp $1{,}5$ lần đoạn $AB$.
Vì sao không cần tính độ dài. Nhiều bài làm tính $|AB|=\sqrt{20}$ và $|CD|=\sqrt{45}$ rồi chia — cũng ra $1{,}5$, nhưng mất ba dòng và hai lần khai căn. Hệ số bội đã chính là tỉ số độ dài, vì nhân một vectơ với $k$ thì độ lớn nhân với $|k|$.
Lưu ý cuối: hai đoạn này song song nhưng không thẳng hàng, vì chúng không có điểm chung. Muốn kết luận thẳng hàng thì hai vectơ vừa phải song song vừa phải xuất phát từ cùng một điểm.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Transformations and vectors gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.