Mục lục bài họcĐang ở d05-b2
Surface area and volume of solids
Prisms and cylinders: one idea
A prism has the same cross-section all the way through, so
$$V=\text{area of cross-section}\times \text{length}$$A cylinder is a prism with a circular cross-section: $V=\pi r^{2}h$. Nothing new.
Cones, pyramids and spheres
$$V_{\text{cone}}=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h,\qquad V_{\text{pyramid}}=\tfrac{1}{3}\times\text{base area}\times h,\qquad V_{\text{sphere}}=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$$The factor $\tfrac{1}{3}$ says a cone is exactly one third of the cylinder with the same base and height — worth remembering as a fact, because it makes many ratio questions instant.
Surface area: the slant height trap
$$\text{cone curved surface}=\pi r l,\qquad \text{sphere}=4\pi r^{2},\qquad \text{cylinder curved surface}=2\pi r h$$In the cone formula $l$ is the slant height, not the vertical height. Questions almost always give the vertical height $h$, so you must first find
$$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$$Curved or total?
"Curved surface area" excludes the flat ends. "Total surface area" includes them: a closed cylinder adds two circles, a cone adds one.
$$\text{cylinder total}=2\pi rh+2\pi r^{2},\qquad \text{cone total}=\pi rl+\pi r^{2}$$Lăng trụ và hình trụ — cùng một ý. Lăng trụ có tiết diện không đổi suốt chiều dài, nên
$$V=\text{diện tích tiết diện}\times \text{chiều dài}$$Hình trụ chỉ là lăng trụ có tiết diện tròn: $V=\pi r^{2}h$. Không có gì mới phải nhớ.
Hình nón, chóp và cầu.
$$V_{\text{nón}}=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h,\qquad V_{\text{chóp}}=\tfrac{1}{3}\times S_{\text{đáy}}\times h,\qquad V_{\text{cầu}}=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$$Hệ số $\tfrac{1}{3}$ nói rằng hình nón bằng đúng một phần ba hình trụ cùng đáy cùng chiều cao — nên nhớ như một sự kiện, vì nó biến nhiều câu tỉ số thành trả lời tức thì.
Diện tích mặt và cái bẫy đường sinh.
$$S_{\text{xq nón}}=\pi r l,\qquad S_{\text{cầu}}=4\pi r^{2},\qquad S_{\text{xq trụ}}=2\pi r h$$Trong công thức hình nón, $l$ là đường sinh, không phải chiều cao. Mà đề gần như luôn cho chiều cao $h$, nên phải tìm đường sinh trước:
$$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$$Xung quanh hay toàn phần? “Curved surface area” không tính hai mặt phẳng ở đầu. “Total surface area” có tính: hình trụ kín cộng thêm hai hình tròn, hình nón cộng một.
$$S_{\text{trụ tp}}=2\pi rh+2\pi r^{2},\qquad S_{\text{nón tp}}=\pi rl+\pi r^{2}$$Đọc kỹ chữ “curved” hay “total” trong đề trước khi viết công thức — hai đáp số chênh nhau khá nhiều và cả hai đều nằm sẵn trong danh sách phương án.
Một hình nón có bán kính đáy $5$ cm và chiều cao $12$ cm. Tính thể tích và diện tích xung quanh, làm tròn đến số nguyên gần nhất.
Thể tích — dùng chiều cao thẳng đứng.
$$V=\tfrac{1}{3}\pi(5)^{2}(12)=\tfrac{1}{3}\pi(300)=100\pi=314\ \text{cm}^{3}$$Diện tích xung quanh — cần đường sinh, mà đề không cho. Bán kính, chiều cao và đường sinh tạo thành một tam giác vuông:
$$l=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{169}=13\ \text{cm}$$$$S=\pi r l=\pi(5)(13)=65\pi=204\ \text{cm}^{2}$$Dấu hiệu đã dùng nhầm. Nếu ai đó thay thẳng $h=12$ vào $\pi rl$ thì ra $\pi(5)(12)=188$ cm² — nhỏ hơn đáp số đúng, và không có gì trông bất thường. Chỉ có một cách chặn: mỗi lần thấy công thức có chữ $l$, dừng lại hỏi “đề đã cho $l$ chưa?” Chưa cho thì viết ngay dòng Pythagoras trước khi làm gì khác.
Một hình trụ kín có bán kính $4$ cm và chiều cao $10$ cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần, làm tròn đến số nguyên.
Diện tích xung quanh. Trải mặt bên ra được một hình chữ nhật có chiều dài bằng chu vi đáy và chiều rộng bằng chiều cao:
$$S_{\text{xq}}=2\pi r h=2\pi(4)(10)=80\pi=251\ \text{cm}^{2}$$Diện tích toàn phần. Cộng thêm hai mặt tròn ở hai đầu:
$$S_{\text{tp}}=80\pi+2\pi(4)^{2}=80\pi+32\pi=112\pi=352\ \text{cm}^{2}$$Vì sao phải đọc kỹ đề. Hai đáp số là $251$ và $352$, chênh nhau $40\%$ — và trong một câu trắc nghiệm, cả hai đều nằm trong danh sách phương án. Chữ quyết định là “curved” hay “total”, và với “total” thì còn phải hỏi thêm hình có kín cả hai đầu không: một cái hộp hình trụ không nắp chỉ cộng một hình tròn, cho $80\pi+16\pi=96\pi=302$ cm².
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Mensuration gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.