Mục lục bài họcĐang ở d02-b3
Sequences, inequalities and functions
Finding the $n$th term
Take differences. If the first differences are constant and equal to $d$, the sequence is linear and the $n$th term is $dn+c$, where $c$ is found by substituting $n=1$.
If the second differences are constant and equal to $D$, the sequence is quadratic with leading coefficient $\dfrac{D}{2}$. Subtract $\dfrac{D}{2}n^{2}$ from the sequence; what remains is linear, and you solve that as above.
Inequalities
Every rule for equations carries over, with one exception: multiplying or dividing both sides by a negative number reverses the inequality sign.
$$5-2x<11\;\Longrightarrow\;-2x<6\;\Longrightarrow\;x>-3$$Note the sign flipped at the last step. Integers satisfying an inequality must be listed only from the region that the inequality actually describes.
Composite and inverse functions
$fg(x)$ means "do $g$ first, then $f$" — read it from the inside out. $fg$ and $gf$ are different functions.
To find $f^{-1}$: write $y=f(x)$, make $x$ the subject, then swap the letters. The inverse undoes the function, so $ff^{-1}(x)=x$ for every $x$ in the domain — this is the fastest way to check your answer.
Tìm số hạng tổng quát. Lập hiệu. Nếu hiệu bậc nhất không đổi và bằng $d$ thì dãy tuyến tính, số hạng tổng quát là $dn+c$, tìm $c$ bằng cách thay $n=1$.
Nếu hiệu bậc hai không đổi và bằng $D$ thì dãy bậc hai với hệ số dẫn đầu $\dfrac{D}{2}$. Trừ $\dfrac{D}{2}n^{2}$ khỏi từng số hạng; phần còn lại là một dãy tuyến tính, giải tiếp như trên.
Bất phương trình. Mọi luật của phương trình đều dùng lại được, trừ đúng một ngoại lệ: nhân hoặc chia hai vế cho số âm thì đổi chiều dấu.
$$5-2x<11\;\Longrightarrow\;-2x<6\;\Longrightarrow\;x>-3$$Dấu đã lật ở bước cuối. Khi đề hỏi “liệt kê các số nguyên thoả mãn”, phải liệt kê từ đúng miền mà bất phương trình mô tả — và nhớ rằng miền có thể vô hạn về một phía, lúc đó đề luôn kèm thêm một chặn nữa.
Hàm hợp và hàm ngược. $fg(x)$ nghĩa là làm $g$ trước, rồi mới $f$ — đọc từ trong ra ngoài. $fg$ và $gf$ là hai hàm khác nhau, và đề Cambridge rất hay hỏi cả hai trong cùng một câu để tách người hiểu với người đoán.
Tìm $f^{-1}$: viết $y=f(x)$, đổi vế cho $x$ đứng một mình, rồi đổi tên chữ cái. Hàm ngược “gỡ” hàm gốc, nên $ff^{-1}(x)=x$ với mọi $x$ trong miền — đây là cách kiểm nhanh nhất, và nên làm mỗi lần.
Tìm số hạng thứ $n$ của dãy $3,\;8,\;15,\;24,\;35,\;\ldots$
Bước 1 — lập hiệu.
Hiệu bậc nhất: $5,\;7,\;9,\;11$ — chưa không đổi. Hiệu bậc hai: $2,\;2,\;2$ — không đổi. Vậy dãy là bậc hai.
Bước 2 — hệ số của $n^{2}$ bằng nửa hiệu bậc hai.
$$\frac{2}{2}=1\;\Longrightarrow\;\text{hệ số của }n^{2}\text{ là }1$$Bước 3 — trừ $n^{2}$ khỏi dãy. Với $n=1,2,3,4,5$ thì $n^{2}=1,4,9,16,25$, nên phần còn lại là
$$3-1=2,\quad 8-4=4,\quad 15-9=6,\quad 24-16=8,\quad 35-25=10$$Dãy $2,4,6,8,10$ là tuyến tính với hiệu $2$, số hạng tổng quát $2n$.
Bước 4 — ghép lại.
$$u_{n}=n^{2}+2n$$Kiểm với $n=4$: $16+8=24$ ✓. Luôn kiểm bằng một số hạng ở giữa dãy, đừng kiểm bằng $n=1$ — công thức sai vẫn thường khớp ở số hạng đầu.
Cho $f(x)=2x-1$ và $g(x)=x^{2}$. Tính $fg(3)$ và $gf(3)$, rồi tìm $f^{-1}(x)$.
$fg(3)$ — làm $g$ trước.
$$g(3)=3^{2}=9,\qquad f(9)=2(9)-1=17$$$gf(3)$ — làm $f$ trước.
$$f(3)=2(3)-1=5,\qquad g(5)=5^{2}=25$$Hai kết quả khác nhau: thứ tự hợp hàm không đổi chỗ được. Ký hiệu $fg$ đọc từ phải sang trái, giống như $f\big(g(x)\big)$ — chữ nào đứng sát $x$ thì làm trước.
Hàm ngược. Đặt $y=2x-1$, đổi vế cho $x$:
$$x=\frac{y+1}{2}\;\Longrightarrow\;f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}$$Kiểm: $ff^{-1}(x)=2\cdot\dfrac{x+1}{2}-1=x+1-1=x$ ✓. Phép kiểm này bắt được mọi lỗi dấu và mọi lỗi thứ tự phép toán, nên đừng bỏ.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Algebra and graphs gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.