Mục lục bài họcĐang ở d01-b3
Indices, standard form, ratio and proportion
Index laws and fractional powers
$$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n},\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\qquad (a^{m})^{n}=a^{mn}$$$$a^{0}=1,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},\qquad a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$$In $a^{m/n}$ the denominator is the root and the numerator is the power. Take the root first: $16^{3/4}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^{3}=2^{3}=8$, which is far easier than cubing $16$ first.
Standard form
A number is in standard form when it is written $a\times 10^{n}$ with $1\le a<10$. After multiplying or dividing, the front number often falls outside that range and must be corrected:
$$(3.2\times 10^{5})\div(8\times 10^{-3})=0.4\times 10^{8}=4\times 10^{7}$$Ratio and proportion
In a ratio $3:5:7$ the useful object is one part. Find its value from whatever the question gives — a total ($15$ parts), a single share, or a difference ($7-3=4$ parts).
Direct proportion: $y=kx$ or $y=kx^{2}$. Inverse proportion: $y=\dfrac{k}{x}$ or $y=\dfrac{k}{x^{2}}$. Always find $k$ from the given pair before substituting the new value.
Luật luỹ thừa và số mũ phân số.
$$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n},\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\qquad (a^{m})^{n}=a^{mn}$$$$a^{0}=1,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},\qquad a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$$Trong $a^{m/n}$, mẫu số là bậc căn, tử số là số mũ. Lấy căn trước cho nhẹ tay: $16^{3/4}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^{3}=2^{3}=8$, dễ hơn nhiều so với lập phương $16$ rồi mới khai căn bậc bốn.
Dạng chuẩn. Một số ở dạng chuẩn khi viết được $a\times 10^{n}$ với $1\le a<10$. Sau khi nhân hoặc chia, phần đầu thường rơi ra ngoài khoảng đó và phải nắn lại:
$$(3.2\times 10^{5})\div(8\times 10^{-3})=0.4\times 10^{8}=4\times 10^{7}$$Bỏ bước nắn lại là mất điểm dù phép tính đúng — $0{,}4\times 10^{8}$ không phải dạng chuẩn.
Tỉ số và tỉ lệ. Trong tỉ số $3:5:7$, thứ cần tìm luôn là giá trị một phần. Tìm nó từ bất cứ dữ kiện nào đề cho: tổng ($15$ phần), một phần chia cụ thể, hoặc một hiệu ($7-3=4$ phần).
Tỉ lệ thuận: $y=kx$ hoặc $y=kx^{2}$. Tỉ lệ nghịch: $y=\dfrac{k}{x}$ hoặc $y=\dfrac{k}{x^{2}}$. Luôn tìm $k$ từ cặp giá trị đề cho trước, rồi mới thay giá trị mới — làm tắt bằng cách “nhân đôi, chia đôi” là chỗ hỏng khi số mũ là $2$.
$y$ tỉ lệ nghịch với bình phương của $x$. Khi $x=3$ thì $y=8$. Tìm $y$ khi $x=6$.
Bước 1 — viết đúng dạng. “Tỉ lệ nghịch với bình phương của $x$” nghĩa là
$$y=\frac{k}{x^{2}}$$Bước 2 — tìm $k$ từ cặp đã cho.
$$8=\frac{k}{3^{2}}\;\Longrightarrow\;k=8\times 9=72$$Bước 3 — thay giá trị mới.
$$y=\frac{72}{6^{2}}=\frac{72}{36}=2$$Vì sao không được làm tắt. $x$ tăng gấp đôi nên nhiều người viết ngay “$y$ giảm một nửa, còn $4$”. Nhưng bình phương làm hệ số là $2^{2}=4$, nên $y$ giảm bốn lần, còn $2$. Dấu hiệu để không quên: chữ “bình phương” nằm ở mẫu, nên mọi thay đổi của $x$ đều bị bình phương trước khi tác động lên $y$.
Rút gọn $\left(16x^{8}\right)^{\frac{3}{4}}$.
Bước 1 — luỹ thừa phân phối vào từng thừa số.
$$\left(16x^{8}\right)^{\frac{3}{4}}=16^{\frac{3}{4}}\times \left(x^{8}\right)^{\frac{3}{4}}$$Bước 2 — phần số: lấy căn trước. Mẫu $4$ là bậc căn:
$$16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^{3}=2^{3}=8$$Bước 3 — phần chữ: nhân số mũ.
$$\left(x^{8}\right)^{\frac{3}{4}}=x^{8\times \frac{3}{4}}=x^{6}$$Vậy kết quả là $8x^{6}$.
Hai chỗ hay hỏng. Một: lấy căn bậc hai thay vì bậc bốn, ra $4^{3}=64$. Hai: quên rằng luỹ thừa phải phủ lên cả $16$ và $x^{8}$, để nguyên $x^{8}$. Cả hai đều cho một biểu thức trông rất giống đáp án đúng, nên phải tách hai thừa số ra hai dòng riêng như trên chứ đừng gộp một dòng.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Number gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.