Mục lục bài họcĐang ở d08-b2
Combined events and tree diagrams
Add or multiply?
- "and" — both things happen → multiply along a branch;
- "or" — either thing happens → add the completed branches.
On a tree diagram this is automatic: multiply across, add down. That is why drawing the tree is worth doing even when the arithmetic looks easy.
Mutually exclusive and independent are different ideas
Mutually exclusive events cannot both happen, so $P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)$.
Independent events do not affect each other, so $P(A\text{ and }B)=P(A)\times P(B)$.
These are not two names for one thing. Rolling a $6$ and rolling an odd number are mutually exclusive but not independent; two separate coin tosses are independent but not mutually exclusive.
With and without replacement
This is the single decision that changes the whole tree.
- With replacement: the second set of probabilities is identical to the first. The denominator does not change.
- Without replacement: the denominator drops by one, and the numerator drops by one only on the branch where that item was taken.
"At least one"
$$P(\text{at least one})=1-P(\text{none})$$Listing every way of getting "at least one" means adding several branches; the complement is a single subtraction. On a three-stage question the saving is large.
Cộng hay nhân?
- “và” — cả hai cùng xảy ra → nhân dọc theo một nhánh;
- “hoặc” — một trong hai xảy ra → cộng các nhánh đã hoàn chỉnh.
Trên sơ đồ cây điều này thành tự động: nhân theo chiều ngang, cộng theo chiều dọc. Đó là lý do nên vẽ cây kể cả khi phép tính trông dễ — cây biến một quyết định thành một thao tác.
Xung khắc và độc lập là hai khái niệm khác nhau.
Xung khắc (mutually exclusive): không thể cùng xảy ra, nên $P(A\text{ hoặc }B)=P(A)+P(B)$.
Độc lập (independent): không ảnh hưởng lẫn nhau, nên $P(A\text{ và }B)=P(A)\times P(B)$.
Đây không phải hai tên gọi của một thứ. Gieo được mặt $6$ và gieo được số lẻ là xung khắc nhưng không độc lập; hai lần tung đồng xu là độc lập nhưng không xung khắc. Lẫn hai khái niệm này là nguồn của phần lớn lỗi chọn nhầm phép tính.
Có hoàn lại và không hoàn lại. Đây là quyết định làm đổi cả sơ đồ cây.
- Có hoàn lại: bộ xác suất ở giai đoạn hai y hệt giai đoạn một. Mẫu số không đổi.
- Không hoàn lại: mẫu số giảm $1$, còn tử số chỉ giảm $1$ trên nhánh mà vật đó vừa bị lấy đi.
Vế thứ hai là chỗ hay sai: nhiều bài giảm cả tử số trên mọi nhánh, làm tổng xác suất tại một nút không còn bằng $1$.
“Ít nhất một”.
$$P(\text{ít nhất một})=1-P(\text{không có cái nào})$$Liệt kê mọi cách để có “ít nhất một” là cộng nhiều nhánh; dùng phần bù chỉ là một phép trừ. Với bài ba giai đoạn, khoản tiết kiệm rất lớn.
Túi có $4$ viên đỏ và $6$ viên xanh. Lấy hai viên. Tính xác suất cả hai đều đỏ, (a) khi lấy có hoàn lại, (b) khi lấy không hoàn lại.
(a) Có hoàn lại. Viên thứ nhất được trả lại nên lần hai giống hệt lần một:
$$P(\text{ĐĐ})=\frac{4}{10}\times\frac{4}{10}=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}=0.16$$(b) Không hoàn lại. Sau khi lấy một viên đỏ, túi còn $9$ viên, trong đó $3$ viên đỏ:
$$P(\text{ĐĐ})=\frac{4}{10}\times\frac{3}{9}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}=0.1\overline{3}$$Vì sao kết quả nhỏ hơn. Lấy đi một viên đỏ làm túi nghèo đỏ hơn, nên lần hai khó ra đỏ hơn. Kết quả không hoàn lại luôn nhỏ hơn kết quả có hoàn lại ở câu “cả hai cùng màu” — đó là phép kiểm chiều rất nhanh: nếu ra số lớn hơn thì đã dùng nhầm bộ mẫu số.
Chỗ hay sai ở (b) là viết $\dfrac{3}{9}$ cho mọi nhánh. Nhánh “xanh rồi đỏ” phải là $\dfrac{4}{9}$, vì chưa có viên đỏ nào bị lấy đi. Tử số chỉ giảm trên nhánh mà vật đó vừa bị lấy.
Xác suất một học sinh đi xe buýt tới trường là $0.7$. Nếu đi xe buýt, xác suất đến muộn là $0.4$; nếu không đi xe buýt, xác suất đến muộn là $0.9$. (a) Tính xác suất học sinh đó đến muộn. (b) Trong hai ngày độc lập, tính xác suất em đó đến muộn ít nhất một ngày.
(a) Vẽ cây, nhân ngang rồi cộng dọc. Có hai đường dẫn tới “muộn”:
$$P(\text{buýt và muộn})=0.7\times 0.4=0.28$$$$P(\text{không buýt và muộn})=0.3\times 0.9=0.27$$$$P(\text{muộn})=0.28+0.27=0.55$$Chú ý: xác suất muộn ở hai nhánh khác nhau ($0{,}4$ và $0{,}9$), nên đây không phải hai biến cố độc lập và không được nhân thẳng $0{,}7\times 0{,}4$ rồi coi là xong.
(b) Dùng phần bù. Liệt kê “ít nhất một” thì có ba trường hợp (muộn–đúng giờ, đúng giờ–muộn, muộn–muộn). Lật ngược lại chỉ còn một:
$$P(\text{không muộn ngày nào})=(1-0.55)^{2}=0.45^{2}=0.2025$$$$P(\text{ít nhất một ngày muộn})=1-0.2025=0.7975$$Kiểm hợp lý: $0{,}7975$ lớn hơn $0{,}55$ — đúng, vì có hai cơ hội để muộn thay vì một ✓. Và nó nhỏ hơn $1$ ✓.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Probability gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.