Mục lục bài họcĐang ở d06-b1
Right-angled triangles and bearings
SOHCAHTOA
Label the three sides relative to the angle you are using:
$$\sin\theta=\frac{\text{opp}}{\text{hyp}},\qquad \cos\theta=\frac{\text{adj}}{\text{hyp}},\qquad \tan\theta=\frac{\text{opp}}{\text{adj}}$$The hypotenuse never changes — it is always opposite the right angle. But "opposite" and "adjacent" swap when you move to the other acute angle, which is why the labelling must be redone for every angle in the question.
Choosing which ratio
Mark the side you know and the side you want. Two of the three labels will be involved, and that pair names the ratio: opp and hyp → sine; adj and hyp → cosine; opp and adj → tangent. Never guess.
Finding an angle
Use the inverse functions $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$. Check that the calculator is in degrees: in radian mode $\sin^{-1}(0.5)$ returns $0.5236$, which looks like a perfectly reasonable number and gives no warning at all.
Bearings
A bearing is measured from north, clockwise, and always written with three figures: $070^{\circ}$, not $70^{\circ}$.
The back bearing (the bearing of $A$ from $B$, given the bearing of $B$ from $A$) differs by $180^{\circ}$: add $180$ if the original is under $180$, subtract $180$ if it is over.
SOHCAHTOA. Gọi tên ba cạnh theo góc đang dùng:
$$\sin\theta=\frac{\text{đối}}{\text{huyền}},\qquad \cos\theta=\frac{\text{kề}}{\text{huyền}},\qquad \tan\theta=\frac{\text{đối}}{\text{kề}}$$Cạnh huyền không bao giờ đổi — nó luôn đối diện góc vuông. Nhưng “đối” và “kề” đổi chỗ cho nhau khi chuyển sang góc nhọn còn lại, nên phải gán nhãn lại cho mỗi góc trong bài, không dùng lại nhãn cũ.
Chọn tỉ số nào. Đánh dấu cạnh đã biết và cạnh cần tìm. Hai trong ba nhãn sẽ có mặt, và cặp đó gọi tên tỉ số: đối và huyền → sin; kề và huyền → cos; đối và kề → tan. Không bao giờ đoán.
Tìm góc. Dùng hàm ngược $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$. Kiểm máy tính đang ở chế độ độ (DEG): ở chế độ radian, $\sin^{-1}(0{,}5)$ trả về $0{,}5236$ — một con số trông hoàn toàn hợp lý và không có cảnh báo nào. Đây là lỗi tốn điểm nhất của cả chương vì nó làm hỏng mọi câu trong bài chứ không chỉ một câu.
Phương vị (bearing). Đo từ hướng bắc, theo chiều kim đồng hồ, và luôn viết đủ ba chữ số: $070^{\circ}$, không phải $70^{\circ}$.
Phương vị ngược (phương vị của $A$ nhìn từ $B$, khi biết phương vị của $B$ nhìn từ $A$) lệch $180^{\circ}$: cộng $180$ nếu số ban đầu nhỏ hơn $180$, trừ $180$ nếu lớn hơn.
Trong tam giác vuông, một góc nhọn bằng $38^{\circ}$ và cạnh kề với nó dài $9$ cm. (a) Tính cạnh đối diện góc đó. (b) Trong một tam giác vuông khác, cạnh đối dài $5$ cm và cạnh huyền dài $13$ cm; tính góc. Làm tròn đến 1 chữ số thập phân.
(a) Biết cạnh kề, cần cạnh đối — cặp này gọi tên hàm tang:
$$\tan 38^{\circ}=\frac{\text{đối}}{9}\;\Longrightarrow\;\text{đối}=9\tan 38^{\circ}=9\times 0.78129=7.03\ \text{cm}$$Kiểm hợp lý: $38^{\circ}$ nhỏ hơn $45^{\circ}$ nên cạnh đối phải ngắn hơn cạnh kề — $7{,}03<9$ ✓. Phép kiểm này bắt được ngay lỗi bấm $9\div\tan 38$.
(b) Biết cạnh đối và cạnh huyền — cặp này gọi tên hàm sin:
$$\sin\theta=\frac{5}{13}=0.38462\;\Longrightarrow\;\theta=\sin^{-1}(0.38462)=22.6^{\circ}$$Kiểm hợp lý: cạnh đối ngắn hơn nhiều so với cạnh huyền nên góc phải nhỏ ✓. Nếu máy trả về $0{,}3948$ thì đó không phải một góc — đó là dấu hiệu máy đang ở chế độ radian, và phải chuyển sang DEG rồi làm lại toàn bộ các câu đã tính.
Một con tàu đi $12$ km theo phương vị $120^{\circ}$ từ cảng $P$ tới điểm $Q$, rồi đi tiếp $9$ km theo phương vị $210^{\circ}$ tới điểm $R$. (a) Chứng tỏ góc $PQR$ bằng $90^{\circ}$. (b) Tính khoảng cách $PR$. (c) Viết phương vị của $P$ nhìn từ $Q$.
(a) Hai phương vị lệch nhau $210^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$, tức hướng đi đổi đúng một góc vuông. Vì hướng bắc tại $Q$ song song với hướng bắc tại $P$, góc giữa đoạn $QP$ kéo dài và đoạn $QR$ đúng bằng $90^{\circ}$. Vậy tam giác $PQR$ vuông tại $Q$.
(b) Áp Pythagoras với hai cạnh góc vuông $12$ và $9$:
$$PR=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\ \text{km}$$(c) Phương vị ngược lệch $180^{\circ}$. Số ban đầu là $120^{\circ}$, nhỏ hơn $180$, nên cộng:
$$120^{\circ}+180^{\circ}=300^{\circ}$$Viết đủ ba chữ số: $300^{\circ}$.
Lưu ý cách viết: phương vị dưới $100^{\circ}$ phải có số $0$ đứng đầu — $070^{\circ}$ chứ không phải $70^{\circ}$. Cambridge trừ điểm cách viết này, và đó là điểm mất rẻ nhất trong toàn bộ chương.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Trigonometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.