Mục lục bài họcĐang ở d07-b1
The four transformations
What each one needs
| Reflection | the equation of the mirror line |
| Rotation | angle, direction, and centre |
| Translation | a column vector |
| Enlargement | scale factor and centre |
A description that misses one of these items loses a mark, even when the drawing is perfect. And the question always says "describe fully the single transformation" — naming two transformations is an automatic zero.
Coordinate rules worth knowing
$$\text{reflect in }x\text{-axis}:\;(x,y)\mapsto(x,-y),\qquad \text{reflect in }y\text{-axis}:\;(x,y)\mapsto(-x,y)$$$$\text{reflect in }y=x:\;(x,y)\mapsto(y,x),\qquad \text{rotate }180^{\circ}\text{ about }O:\;(x,y)\mapsto(-x,-y)$$$$\text{rotate }90^{\circ}\text{ anticlockwise about }O:\;(x,y)\mapsto(-y,x)$$Enlargement with a centre that is not the origin
Work with the vector from the centre, multiply it by the scale factor, then add it back:
$$\text{image}=\text{centre}+k\times(\text{point}-\text{centre})$$Negative and fractional scale factors
A negative scale factor puts the image on the opposite side of the centre and turns it upside down. A fractional one makes the image smaller — it is still called an enlargement in this syllabus.
Area scales by $k^{2}$, and the sign is lost in squaring: scale factor $-2$ and scale factor $2$ both multiply area by $4$.
Mỗi phép cần những gì.
- Đối xứng trục (reflection): phương trình của trục đối xứng;
- Quay (rotation): góc, chiều, và tâm quay;
- Tịnh tiến (translation): một vectơ cột;
- Vị tự (enlargement): tỉ số và tâm.
Lời mô tả thiếu một trong các mục trên là mất điểm, kể cả khi hình vẽ hoàn hảo. Và đề luôn ghi “describe fully the single transformation” — nêu ra hai phép biến hình là mất trọn điểm, vì câu hỏi đòi một.
Các quy tắc toạ độ nên thuộc.
$$\text{đối xứng qua trục }x:\;(x,y)\mapsto(x,-y),\qquad \text{qua trục }y:\;(x,y)\mapsto(-x,y)$$$$\text{qua đường }y=x:\;(x,y)\mapsto(y,x),\qquad \text{quay }180^{\circ}\text{ quanh }O:\;(x,y)\mapsto(-x,-y)$$$$\text{quay }90^{\circ}\text{ ngược kim đồng hồ quanh }O:\;(x,y)\mapsto(-y,x)$$Vị tự với tâm không phải gốc toạ độ. Làm việc với vectơ tính từ tâm, nhân với tỉ số rồi cộng trả lại:
$$\text{ảnh}=\text{tâm}+k\times(\text{điểm}-\text{tâm})$$Công thức này thay thế mọi mẹo đếm ô, và nó không bao giờ sai dấu.
Tỉ số âm và tỉ số phân số. Tỉ số âm đặt ảnh sang phía bên kia của tâm và lộn ngược hình. Tỉ số phân số làm hình nhỏ đi — trong syllabus này nó vẫn được gọi là enlargement, đừng viết “reduction”.
Diện tích nhân với $k^{2}$, và dấu mất đi khi bình phương: tỉ số $-2$ và tỉ số $2$ đều làm diện tích gấp $4$ lần.
Tam giác $T$ có các đỉnh $(1,1)$, $(3,1)$, $(1,4)$. Ảnh $T'$ có các đỉnh $(-1,-1)$, $(-3,-1)$, $(-1,-4)$. Mô tả đầy đủ phép biến hình duy nhất đưa $T$ về $T'$.
Bước 1 — nhận dạng. Mỗi toạ độ đều đổi dấu: $(x,y)\mapsto(-x,-y)$. Đó là quy tắc của phép quay $180^{\circ}$ quanh gốc toạ độ.
Bước 2 — kiểm kích thước. Cạnh gốc dài $2$ và $3$; cạnh ảnh cũng dài $2$ và $3$. Hình không đổi kích thước nên không phải vị tự.
Bước 3 — viết lời mô tả đầy đủ.
“Quay $180^{\circ}$ quanh gốc toạ độ $(0,0)$.”
Vì sao không cần ghi chiều quay. Với $180^{\circ}$, quay thuận hay ngược kim đồng hồ cho cùng một ảnh — đây là ngoại lệ duy nhất. Mọi góc quay khác đều bắt buộc ghi chiều.
Hai câu trả lời mất điểm. “Quay $180^{\circ}$” — thiếu tâm. “Đối xứng qua trục $x$ rồi đối xứng qua trục $y$” — đúng về kết quả nhưng là hai phép, trong khi đề hỏi một.
Điểm $P(4,4)$ chịu phép vị tự tâm $(1,2)$, tỉ số $3$. Tìm ảnh của $P$. Một hình có diện tích $5$ cm² chịu cùng phép vị tự đó; tính diện tích ảnh.
Bước 1 — vectơ tính từ tâm.
$$P-\text{tâm}=(4-1,\;4-2)=(3,\;2)$$Bước 2 — nhân với tỉ số.
$$3\times(3,\,2)=(9,\,6)$$Bước 3 — cộng trả lại tâm.
$$\text{ảnh}=(1,2)+(9,6)=(10,\;8)$$Diện tích. Diện tích nhân với $k^{2}$:
$$5\times 3^{2}=45\ \text{cm}^{2}$$Hai điều đáng nhớ. Một: công thức ba bước trên hoạt động với mọi tỉ số, kể cả âm và phân số — nhân thẳng toạ độ điểm với $3$ (ra $(12,12)$) chỉ đúng khi tâm là gốc toạ độ. Hai: tỉ số diện tích không phụ thuộc tâm, vì tâm chỉ quyết định ảnh nằm ở đâu chứ không quyết định ảnh lớn bao nhiêu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Transformations and vectors gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.