Mục lục bài họcĐang ở d01-b2
Percentages: change, reverse and compound
One multiplier, three questions
Every percentage question in the syllabus is built from a single object, the multiplier:
$$\text{increase by }p\%\;\Rightarrow\;\times\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{decrease by }p\%\;\Rightarrow\;\times\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$- Forward: new $=$ old $\times$ multiplier.
- Reverse: old $=$ new $\div$ multiplier. This is the one the exam asks for, and it is a division, never a second percentage.
- Repeated: after $n$ equal steps the multiplier is raised to the power $n$.
Compound interest and depreciation
$$V_{n}=V_{0}\left(1\pm\frac{r}{100}\right)^{n}$$Depreciation is the same formula with a minus sign. Simple interest, by contrast, adds $\dfrac{r}{100}V_{0}$ each year and is linear; the two answers differ more each year and the exam usually asks for the difference.
Combining changes
Changes multiply, they do not add. A rise of $20\%$ followed by a fall of $20\%$ gives $1.2\times 0.8=0.96$, a net fall of $4\%$. The base of the second change is the new amount, not the original.
Một hệ số nhân, ba câu hỏi. Mọi bài phần trăm trong syllabus đều dựng từ một thứ duy nhất — hệ số nhân: tăng $p\%$ là nhân $\left(1+\tfrac{p}{100}\right)$, giảm $p\%$ là nhân $\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$.
- Xuôi: giá mới $=$ giá cũ $\times$ hệ số.
- Ngược: giá cũ $=$ giá mới $\div$ hệ số. Đây mới là câu đề hay hỏi, và nó là một phép chia — không bao giờ là “cộng lại phần trăm vừa trừ”.
- Lặp lại: qua $n$ bước giống nhau thì nâng hệ số lên luỹ thừa $n$.
Lãi kép và khấu hao.
$$V_{n}=V_{0}\left(1\pm\frac{r}{100}\right)^{n}$$Khấu hao dùng đúng công thức đó với dấu trừ. Lãi đơn thì mỗi năm cộng thêm $\dfrac{r}{100}V_{0}$, tức là một hàm bậc nhất; hai kết quả càng ngày càng lệch, và đề Cambridge thường hỏi thẳng phần chênh lệch ấy.
Ghép nhiều lần thay đổi thì nhân, không cộng. Tăng $20\%$ rồi giảm $20\%$ cho $1{,}2\times 0{,}8=0{,}96$, tức giảm $4\%$ so với ban đầu. Lần thay đổi thứ hai lấy gốc là số mới, không phải số ban đầu — đó là toàn bộ lý do kết quả không về chỗ cũ.
Sau khi giảm giá $15\%$, một chiếc áo khoác có giá $1\,275\,000$ VND. Tính giá gốc.
Bước 1 — xác định số đã cho là gì. $1\,275\,000$ là giá sau khi giảm, tức là nó ứng với $85\%$ của giá gốc.
Bước 2 — chia, không cộng.
$$\text{giá gốc}=\frac{1\,275\,000}{0.85}=1\,500\,000\ \text{VND}$$Bước 3 — kiểm ngược. $1\,500\,000\times 0{,}85=1\,275\,000$ ✓.
So sánh với cách làm sai phổ biến: cộng $15\%$ vào $1\,275\,000$ được $1\,466\,250$. Kiểm ngược thì $1\,466\,250\times 0{,}85=1\,246\,312{,}5$ — không ra số đề cho. Lý do sâu xa: $15\%$ của giá gốc và $15\%$ của giá đã giảm là hai số tiền khác nhau, vì hai gốc khác nhau. Cứ có thói quen kiểm ngược một dòng thì bẫy này không bao giờ lọt.
Một khoản tiền $8\,000$ USD gửi với lãi kép $4.5\%$ một năm. Sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền vượt $12\,000$ USD?
Bước 1 — dựng bất phương trình.
$$8000\times 1.045^{\,n}>12000\;\Longrightarrow\;1.045^{\,n}>1.5$$Bước 2 — thử bằng máy tính, tăng dần $n$. Cambridge không đòi logarit ở 0580; đề chấp nhận cách thử có ghi rõ hai dòng ôm lấy đáp số.
$$1.045^{9}=1.4861\ (<1.5),\qquad 1.045^{10}=1.5530\ (>1.5)$$Bước 3 — trả lời số nguyên. Vậy cần 10 năm.
Hai dòng ở bước 2 là phần được chấm điểm: chỉ ghi “10 năm” mà không có dòng $n=9$ chưa đạt thì không chứng tỏ được đó là năm đầu tiên vượt. Và lưu ý $8000\times 1{,}045^{10}=12\,424$ USD — tiền chỉ vượt mốc tại cuối năm thứ 10, không phải giữa năm.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Number gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.