Mục lục bài họcĐang ở d02-b2
Algebraic fractions and changing the subject
Simplifying algebraic fractions
You may only cancel a factor, never a term. Factorise the top and the bottom completely first:
$$\frac{x^{2}-9}{x^{2}+x-12}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+4)}=\frac{x+3}{x+4}$$Cancelling the $x^{2}$ in the original expression is meaningless, because $x^{2}$ is not a factor of either line.
Adding fractions with algebraic denominators
The common denominator is the product of the distinct factors, not the product of the two denominators written down blindly.
$$\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x+1}=\frac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x+7}{(x-2)(x+1)}$$Changing the subject when the new subject appears twice
This is the hardest routine in the topic, and it always follows the same four steps:
- clear all fractions by multiplying through;
- expand the brackets;
- collect every term containing the new subject on one side, everything else on the other;
- factorise out the new subject and divide.
Step 3 is where marks are lost: a single term left on the wrong side makes step 4 impossible.
Rút gọn phân thức: chỉ được rút nhân tử, không bao giờ rút hạng tử. Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử trước:
$$\frac{x^{2}-9}{x^{2}+x-12}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+4)}=\frac{x+3}{x+4}$$Gạch $x^{2}$ ở biểu thức ban đầu là vô nghĩa, vì $x^{2}$ không phải nhân tử của dòng nào cả. Đây là lỗi cơ bản nhưng vẫn xuất hiện đều đặn ở Paper 4.
Cộng trừ phân thức. Mẫu chung là tích các nhân tử khác nhau, không phải cứ nhân bừa hai mẫu:
$$\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x+1}=\frac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x+7}{(x-2)(x+1)}$$Chú ý dấu trừ phân phối vào cả hai hạng tử của tử thứ hai: $-2(x-2)=-2x+4$, không phải $-2x-4$.
Đổi vế khi ẩn mới xuất hiện hai lần. Đây là quy trình khó nhất của chương, và lúc nào cũng đúng bốn bước:
- khử hết mẫu bằng cách nhân chéo;
- khai triển ngoặc;
- gom mọi hạng tử chứa ẩn mới về một vế, phần còn lại sang vế kia;
- đặt ẩn mới làm nhân tử chung rồi chia.
Bước 3 là chỗ mất điểm: sót một hạng tử ở nhầm vế thì bước 4 không thực hiện được, và bài làm sẽ tắc chứ không sai — nhiều thí sinh ngồi lại làm từ đầu, mất thời gian của cả câu sau.
Cho $y=\dfrac{2x+3}{x-1}$. Viết $x$ theo $y$.
Bước 1 — khử mẫu.
$$y(x-1)=2x+3$$Bước 2 — khai triển.
$$xy-y=2x+3$$Bước 3 — gom mọi hạng tử chứa $x$ về một vế. Có hai hạng tử như vậy: $xy$ và $2x$.
$$xy-2x=y+3$$Bước 4 — đặt $x$ làm nhân tử chung rồi chia.
$$x(y-2)=y+3\;\Longrightarrow\;x=\frac{y+3}{y-2}$$Kiểm nhanh. Thay $x=4$ vào công thức gốc: $y=\dfrac{11}{3}$. Thay ngược $y=\dfrac{11}{3}$ vào kết quả: $x=\dfrac{11/3+3}{11/3-2}=\dfrac{20/3}{5/3}=4$ ✓. Một phép kiểm bằng số cụ thể như thế mất chưa tới ba mươi giây và bắt được gần như mọi lỗi dấu.
Rút gọn $\dfrac{2x^{2}-8}{x^{2}+4x+4}\div\dfrac{x-2}{x+2}$.
Bước 1 — phân tích mọi thứ trước khi động vào phép chia.
$$2x^{2}-8=2(x^{2}-4)=2(x-2)(x+2),\qquad x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}$$Bước 2 — chia phân thức là nhân với nghịch đảo.
$$\frac{2(x-2)(x+2)}{(x+2)^{2}}\times\frac{x+2}{x-2}$$Bước 3 — rút các nhân tử chung. Rút $(x-2)$ một lần, rút $(x+2)$ hai lần:
$$=\frac{2(x-2)(x+2)(x+2)}{(x+2)^{2}(x-2)}=2$$Kết quả là hằng số $2$ — một đáp số trông “quá gọn” khiến nhiều người nghi mình làm sai và quay lại sửa. Không cần: đó chính là điều đề muốn cho thấy, rằng hai phân thức bù trừ hết cho nhau. Điều kiện xác định là $x\ne 2$ và $x\ne -2$; đề Cambridge ở mức 0580 không đòi ghi, nhưng ghi thêm không bị trừ.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Algebra and graphs gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.