Mục lục bài họcĐang ở d03-b2
The equation of a straight line
Two forms, one line
$$y=mx+c\qquad\text{and}\qquad ax+by=d$$The first shows the gradient $m$ and the $y$-intercept $c$ immediately. The second is the form Cambridge often gives, and you must rearrange it before you can read the gradient: $3x+4y=24$ becomes $y=-\tfrac{3}{4}x+6$, so $m=-\tfrac{3}{4}$.
Building an equation from a gradient and a point
Substitute the point into $y=mx+c$ and solve for $c$. Through $(2,-4)$ with $m=3$:
$$-4=3(2)+c\;\Longrightarrow\;c=-10\;\Longrightarrow\;y=3x-10$$Parallel and perpendicular
- Parallel lines have the same gradient.
- Perpendicular gradients multiply to $-1$: $m_{1}m_{2}=-1$, so $m_{2}=-\dfrac{1}{m_{1}}$.
Turning $\tfrac{3}{2}$ into a perpendicular gradient means doing two things: invert it and change its sign, giving $-\tfrac{2}{3}$. Doing only one of the two is the standard error.
Intercepts
The line crosses the $x$-axis where $y=0$ and the $y$-axis where $x=0$. Set the other variable to zero — never both.
Hai dạng, cùng một đường.
$$y=mx+c\qquad\text{và}\qquad ax+by=d$$Dạng thứ nhất cho đọc ngay hệ số góc $m$ và giao điểm với trục tung $c$. Dạng thứ hai là dạng Cambridge hay cho sẵn, và phải biến đổi trước mới đọc được hệ số góc: $3x+4y=24$ thành $y=-\tfrac{3}{4}x+6$, nên $m=-\tfrac{3}{4}$. Đọc thẳng “$m=3$” từ dạng $3x+4y=24$ là lỗi sai đầu bảng.
Dựng phương trình từ hệ số góc và một điểm. Thay điểm vào $y=mx+c$ rồi giải ra $c$. Qua $(2,-4)$ với $m=3$:
$$-4=3(2)+c\;\Longrightarrow\;c=-10\;\Longrightarrow\;y=3x-10$$Song song và vuông góc. Đường song song có cùng hệ số góc. Hai đường vuông góc có tích hệ số góc bằng $-1$:
$$m_{1}m_{2}=-1\;\Longrightarrow\;m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}$$Biến $\tfrac{3}{2}$ thành hệ số góc vuông góc là làm hai việc: lật ngược phân số và đổi dấu, ra $-\tfrac{2}{3}$. Chỉ làm một trong hai là lỗi chuẩn của dạng này.
Giao với các trục. Cắt trục hoành khi $y=0$, cắt trục tung khi $x=0$. Cho biến kia bằng $0$ — nhiều bài làm cho cả hai bằng $0$ rồi không hiểu vì sao chỉ ra gốc toạ độ.
Tìm phương trình đường thẳng đi qua $(6,-2)$ và vuông góc với đường $2y=3x+8$.
Bước 1 — đưa đường đã cho về dạng $y=mx+c$. Không đọc hệ số góc từ dạng chưa rút gọn.
$$2y=3x+8\;\Longrightarrow\;y=\tfrac{3}{2}x+4\;\Longrightarrow\;m_{1}=\tfrac{3}{2}$$Bước 2 — hệ số góc vuông góc: lật ngược và đổi dấu.
$$m_{2}=-\frac{2}{3}$$Kiểm: $\tfrac{3}{2}\times\left(-\tfrac{2}{3}\right)=-1$ ✓.
Bước 3 — thay điểm để tìm $c$.
$$-2=-\tfrac{2}{3}(6)+c=-4+c\;\Longrightarrow\;c=2$$Vậy phương trình là $y=-\dfrac{2}{3}x+2$, hay $3y+2x=6$ nếu đề đòi dạng nguyên.
Ba bước này là khuôn cố định của mọi câu “vuông góc đi qua một điểm”. Bước 1 hay bị bỏ khi phương trình đã trông giống dạng $y=mx+c$ — nhưng $2y=3x+8$ chỉ trông giống, hệ số góc thật không phải là $3$.
$A(-1,2)$ và $B(5,10)$. Tìm phương trình đường trung trực của $AB$.
Đường trung trực đòi hai tính chất: đi qua trung điểm và vuông góc với $AB$. Thiếu một trong hai là ra đường khác.
Bước 1 — trung điểm.
$$M=\left(\frac{-1+5}{2},\;\frac{2+10}{2}\right)=(2,\;6)$$Bước 2 — hệ số góc của $AB$.
$$m_{AB}=\frac{10-2}{5-(-1)}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$Bước 3 — hệ số góc vuông góc.
$$m=-\frac{3}{4}$$Bước 4 — thay trung điểm để tìm $c$.
$$6=-\tfrac{3}{4}(2)+c=-1.5+c\;\Longrightarrow\;c=7.5$$$$y=-\tfrac{3}{4}x+7.5\qquad\text{hay}\qquad 4y+3x=30$$Kiểm bằng ý nghĩa. Trung trực gồm mọi điểm cách đều $A$ và $B$. Thử điểm $(10,0)$ trên đường vừa tìm: khoảng cách tới $A$ là $\sqrt{121+4}=\sqrt{125}$, tới $B$ là $\sqrt{25+100}=\sqrt{125}$ ✓. Phép kiểm này bắt được cả lỗi trung điểm lẫn lỗi hệ số góc.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Coordinate geometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.