Mục lục bài họcĐang ở d04-b2
Circle theorems
The eight facts
- The angle at the centre is twice the angle at the circumference standing on the same arc.
- The angle in a semicircle is $90^{\circ}$ (a special case of 1).
- Angles in the same segment are equal.
- Opposite angles of a cyclic quadrilateral add to $180^{\circ}$.
- The exterior angle of a cyclic quadrilateral equals the interior opposite angle.
- A tangent is perpendicular to the radius at the point of contact.
- The two tangents from an external point are equal in length (so they make an isosceles triangle).
- Alternate segment: the angle between a tangent and a chord equals the angle in the alternate segment.
How to choose
Do not scan the list. Look at the diagram and ask what touches what:
- a line touching the circle at one point → tangent facts (6, 7, 8);
- four points all on the circle joined in order → cyclic quadrilateral (4, 5);
- a vertex at the centre and a vertex on the circumference over the same arc → fact 1;
- a chord through the centre → fact 2.
Naming the theorem in words is worth a mark on its own; "circle theorem" alone is not a name.
Tám sự kiện.
- Góc ở tâm gấp đôi góc ở đường tròn cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^{\circ}$ (trường hợp riêng của 1).
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- Hai góc đối của tứ giác nội tiếp cộng bằng $180^{\circ}$.
- Góc ngoài của tứ giác nội tiếp bằng góc trong ở đỉnh đối diện.
- Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
- Hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài bằng nhau, nên tạo thành tam giác cân.
- Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung ở phía bên kia dây.
Chọn định lý thế nào. Đừng dò danh sách từ đầu. Nhìn hình và hỏi cái gì chạm cái gì:
- một đường chạm đường tròn tại đúng một điểm → nhóm tiếp tuyến (6, 7, 8);
- bốn điểm đều nằm trên đường tròn, nối theo thứ tự → tứ giác nội tiếp (4, 5);
- một đỉnh ở tâm và một đỉnh trên đường tròn cùng chắn một cung → định lý 1;
- một dây đi qua tâm → định lý 2.
Gọi tên định lý bằng chữ được tính một điểm riêng. Viết “theo định lý đường tròn” thì không phải là một cái tên, và không được điểm đó.
$A$, $B$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn tâm $O$. $BD$ là đường kính. Biết $\angle BAC=35^{\circ}$ và $\angle ABD=52^{\circ}$. Tính $\angle BOC$ và $\angle ADB$.
$\angle BOC$ — dùng định lý góc ở tâm. Góc $\angle BAC$ ở trên đường tròn và góc $\angle BOC$ ở tâm cùng chắn cung $BC$:
$$\angle BOC=2\times 35^{\circ}=70^{\circ}$$$\angle ADB$ — dùng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. $BD$ là đường kính nên $\angle BAD=90^{\circ}$. Trong tam giác $ABD$:
$$\angle ADB=180^{\circ}-90^{\circ}-52^{\circ}=38^{\circ}$$Điều cần chú ý. Hai câu hỏi trong cùng một hình dùng hai định lý khác nhau, và dữ kiện của câu này không dùng cho câu kia. Thói quen sai là gom hết số liệu vào một sơ đồ rồi tính lung tung; thói quen đúng là với mỗi góc cần tìm, hỏi “góc này nằm trong hình con nào” — $\angle BOC$ nằm trong cấu hình tâm–đường tròn, còn $\angle ADB$ nằm trong tam giác vuông sinh bởi đường kính.
Từ điểm $P$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$, kẻ hai tiếp tuyến $PA$ và $PB$. Biết $\angle AOB=130^{\circ}$. Tính $\angle APB$.
Bước 1 — dùng định lý tiếp tuyến vuông góc bán kính.
$$\angle OAP=\angle OBP=90^{\circ}$$Bước 2 — tứ giác $OAPB$ có tổng bốn góc bằng $360^{\circ}$.
$$\angle APB=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$$Kiểm bằng một góc nhìn khác. Hai tiếp tuyến từ $P$ bằng nhau nên tam giác $APB$ cân tại $P$; đường $OP$ là trục đối xứng của cả hình, chia $\angle AOB$ thành hai góc $65^{\circ}$ và chia $\angle APB$ thành hai góc bằng nhau. Trong tam giác vuông $OAP$: $\angle APO=180-90-65=25^{\circ}$, nên $\angle APB=2\times 25=50^{\circ}$ ✓.
Ghi nhớ dùng lại được: trong cấu hình hai tiếp tuyến, $\angle AOB$ và $\angle APB$ luôn bù nhau — vì hai góc vuông đã chiếm $180^{\circ}$ trong tổng $360^{\circ}$ của tứ giác.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Geometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.