Mục lục bài họcĐang ở d06-b2
The sine rule, cosine rule and area
For triangles without a right angle
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},\qquad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A,\qquad \text{Area}=\tfrac{1}{2}ab\sin C$$In every one of these, a lower-case letter is the side opposite the capital-letter angle. Getting that pairing wrong is the commonest structural error in the topic.
Which rule, and when
Count what the question gives you.
- A matching pair (a side and the angle opposite it) plus one more piece → sine rule.
- Three sides, or two sides and the angle between them → cosine rule.
The cosine rule is what you reach for exactly when the sine rule has no matching pair to start from.
The area formula needs the included angle
In $\tfrac{1}{2}ab\sin C$, the angle $C$ must be the one between the two sides $a$ and $b$. Any other angle gives a wrong answer with no warning.
The obtuse case
$\sin\theta=\sin(180^{\circ}-\theta)$, so a sine equation has two solutions between $0^{\circ}$ and $180^{\circ}$. The calculator only ever returns the acute one. When the diagram or the wording shows the angle is obtuse, you must subtract from $180^{\circ}$ yourself.
The cosine rule does not have this problem: $\cos^{-1}$ returns a value from $0^{\circ}$ to $180^{\circ}$, and a negative cosine is the signal that the angle is obtuse.
Cho tam giác không có góc vuông.
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},\qquad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A,\qquad S=\tfrac{1}{2}ab\sin C$$Trong cả ba công thức, chữ thường là cạnh đối diện góc mang chữ hoa tương ứng. Ghép sai cặp này là lỗi cấu trúc phổ biến nhất của chương.
Dùng định lý nào. Đếm xem đề cho gì.
- Có một cặp khớp (một cạnh và góc đối diện nó) cộng thêm một dữ kiện nữa → định lý sin.
- Có ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa → định lý cosin.
Định lý cosin là thứ dùng đúng khi định lý sin không có cặp khớp nào để bắt đầu.
Công thức diện tích cần góc xen giữa. Trong $\tfrac{1}{2}ab\sin C$, góc $C$ phải là góc nằm giữa hai cạnh $a$ và $b$. Lấy góc khác thì ra một số sai mà không có cảnh báo nào.
Trường hợp góc tù. Vì $\sin\theta=\sin(180^{\circ}-\theta)$, một phương trình sin có hai nghiệm trong khoảng $0^{\circ}$ đến $180^{\circ}$. Máy tính chỉ trả về nghiệm nhọn. Khi hình vẽ hoặc lời đề cho biết góc là tù, phải tự lấy $180^{\circ}$ trừ đi.
Định lý cosin không gặp vấn đề này: $\cos^{-1}$ trả về giá trị từ $0^{\circ}$ đến $180^{\circ}$, và cosin âm chính là tín hiệu góc tù. Đây là một lý do thực tế để ưu tiên định lý cosin khi có thể chọn.
Tam giác $ABC$ có $b=7$ cm, $c=9$ cm và $\angle A=52^{\circ}$. (a) Tính $a$. (b) Tính diện tích tam giác. Làm tròn đến 1 chữ số thập phân.
(a) Chọn định lý. Đề cho hai cạnh và góc xen giữa chúng ($\angle A$ nằm giữa $b$ và $c$). Không có cặp khớp nào — không biết góc đối diện $b$ hay $c$ — nên định lý sin không dùng được. Phải dùng định lý cosin:
$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=49+81-2(7)(9)\cos 52^{\circ}$$$$=130-126(0.61566)=130-77.57=52.43$$$$a=\sqrt{52.43}=7.2\ \text{cm}$$Kiểm hợp lý: $a=7{,}2$ nằm giữa hiệu $9-7=2$ và tổng $9+7=16$ ✓ — bất đẳng thức tam giác luôn dùng được để loại đáp số vô lý.
(b) Diện tích. Công thức $\tfrac{1}{2}\times(\text{hai cạnh})\times\sin(\text{góc xen giữa})$, và ở đây đúng bộ ba $b$, $c$, $A$:
$$S=\tfrac{1}{2}(7)(9)\sin 52^{\circ}=31.5\times 0.78801=24.8\ \text{cm}^{2}$$Không cần biết $a$ để tính diện tích — nhiều bài làm mất thời gian tính $a$ trước rồi mới quay lại, trong khi câu (b) độc lập với câu (a).
Tam giác có ba cạnh $5$ cm, $7$ cm và $9$ cm. Tính góc lớn nhất, làm tròn đến 1 chữ số thập phân.
Bước 1 — góc lớn nhất đối diện cạnh dài nhất. Cạnh dài nhất là $9$, nên tìm góc đối diện nó. Đặt $a=9$, $b=5$, $c=7$.
Bước 2 — định lý cosin viết theo chiều tìm góc.
$$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{25+49-81}{2(5)(7)}=\frac{-7}{70}=-0.1$$Bước 3 — đọc dấu. Cosin âm nên góc tù — đây là tín hiệu mà định lý cosin cho sẵn, không cần hình vẽ.
$$A=\cos^{-1}(-0.1)=95.7^{\circ}$$Vì sao không dùng định lý sin ở đây. Nếu tìm được góc này bằng sin, máy sẽ trả về $84{,}3^{\circ}$ — nghiệm nhọn — và không có gì báo rằng nghiệm đúng là nghiệm còn lại. Ba cạnh cho trước là trường hợp mà định lý cosin vừa là công cụ duy nhất dùng được, vừa an toàn hơn về dấu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Trigonometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.