Mục lục bài họcĐang ở d05-b1
Circles, arcs and sectors
The whole circle
$$C=2\pi r=\pi d,\qquad A=\pi r^{2}$$Circumference uses $r$ to the power one; area uses $r$ squared. If an answer to an area question has the same units as a length, something has gone wrong.
Sectors: take a fraction of the whole
A sector of angle $\theta$ is $\dfrac{\theta}{360}$ of the circle, so every sector formula is the whole-circle formula multiplied by that fraction:
$$\text{arc length}=\frac{\theta}{360}\times 2\pi r,\qquad \text{sector area}=\frac{\theta}{360}\times \pi r^{2}$$There is nothing to memorise beyond the two whole-circle formulae and the idea of a fraction.
Perimeter is not the same as arc length
The perimeter of a sector is the arc plus the two straight radii:
$$P=\frac{\theta}{360}\times 2\pi r+2r$$For a semicircle this gives $\pi r+2r$, not $\pi r$ and not $2\pi r$. Forgetting the straight edges is the most common single error in this topic.
Compound shapes
Cut the shape into rectangles, triangles, circles and sectors. Then add or subtract areas — but for perimeter, only count the edges that are actually on the outside of the finished shape. Cutting a quarter-circle out of a rectangle removes area but adds perimeter.
Cả đường tròn.
$$C=2\pi r=\pi d,\qquad A=\pi r^{2}$$Chu vi dùng $r$ mũ một, diện tích dùng $r$ mũ hai. Đáp số của một câu diện tích mà lại mang đơn vị độ dài là dấu hiệu đã chọn nhầm công thức — kiểm đơn vị là cách bắt lỗi nhanh nhất ở chương này.
Hình quạt: lấy một phần của cả hình. Hình quạt góc $\theta$ chiếm $\dfrac{\theta}{360}$ đường tròn, nên mọi công thức hình quạt chỉ là công thức cả đường tròn nhân với phân số đó:
$$\text{độ dài cung}=\frac{\theta}{360}\times 2\pi r,\qquad \text{diện tích quạt}=\frac{\theta}{360}\times \pi r^{2}$$Không có gì phải học thuộc thêm ngoài hai công thức gốc và ý tưởng “một phần”.
Chu vi hình quạt khác độ dài cung. Chu vi là cung cộng hai bán kính thẳng:
$$P=\frac{\theta}{360}\times 2\pi r+2r$$Với nửa đường tròn, chu vi là $\pi r+2r$ — không phải $\pi r$ và cũng không phải $2\pi r$. Quên hai cạnh thẳng là lỗi đơn lẻ phổ biến nhất của cả chương.
Hình ghép. Cắt hình thành chữ nhật, tam giác, đường tròn và hình quạt, rồi cộng hoặc trừ diện tích. Nhưng với chu vi thì chỉ đếm những cạnh thật sự nằm ở mép ngoài của hình cuối cùng. Khoét một phần tư đường tròn khỏi hình chữ nhật thì diện tích giảm mà chu vi lại tăng — hai đại lượng đi ngược chiều nhau, và đó là chỗ dễ nhầm nhất khi làm hình ghép.
Một hình quạt có bán kính $9$ cm và góc ở tâm $140^{\circ}$. Tính độ dài cung, diện tích và chu vi của hình quạt, mỗi kết quả làm tròn đến 1 chữ số thập phân.
Phân số của cả đường tròn.
$$\frac{140}{360}=\frac{7}{18}$$Độ dài cung.
$$\frac{7}{18}\times 2\pi(9)=\frac{7}{18}\times 18\pi=7\pi=22.0\ \text{cm}$$Diện tích.
$$\frac{7}{18}\times \pi(9)^{2}=\frac{7}{18}\times 81\pi=31.5\pi=99.0\ \text{cm}^{2}$$Chu vi. Cung cộng hai bán kính:
$$22.0+9+9=40.0\ \text{cm}$$Kiểm bằng đơn vị. Cung và chu vi ra cm; diện tích ra cm². Nếu ba con số cùng đơn vị thì chắc chắn có một công thức bị chọn nhầm. Ngoài ra $140^{\circ}$ hơi lớn hơn một phần ba vòng, và $99$ đúng là hơi lớn hơn một phần ba của $\pi(81)=254{,}5$ ✓.
Từ một hình chữ nhật $12$ cm $\times$ $8$ cm, người ta khoét đi một phần tư hình tròn bán kính $4$ cm ở một góc. Tính diện tích phần còn lại, làm tròn đến 1 chữ số thập phân.
Bước 1 — cắt bài toán, không cắt hình. Diện tích cần tìm là hiệu của hai hình quen thuộc.
$$A_{\text{chữ nhật}}=12\times 8=96\ \text{cm}^{2}$$$$A_{\text{phần tư}}=\frac{1}{4}\times\pi(4)^{2}=4\pi=12.566\ \text{cm}^{2}$$Bước 2 — trừ.
$$96-12.566=83.4\ \text{cm}^{2}$$Ghi chú về chu vi. Nếu đề hỏi chu vi thay vì diện tích, kết quả không giảm đi. Hai cạnh thẳng dài $4$ cm biến mất khỏi mép, nhưng thay vào đó xuất hiện một cung dài $\dfrac{1}{4}\times 2\pi(4)=2\pi=6{,}28$ cm. Chu vi mới là
$$40-4-4+6.28=38.3\ \text{cm}$$tức giảm chút ít so với $40$ cm ban đầu, chứ không giảm đúng bằng phần bị cắt. Diện tích và chu vi của hình ghép phải tính riêng, mỗi cái theo cách của nó.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Mensuration gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.