Mục lục bài họcĐang ở d08-b3
Venn diagrams and conditional probability
Filling a Venn diagram
Always start with the intersection and work outwards. If $n(A)=18$, $n(B)=14$ and $n(A\cap B)=6$, then the region "$A$ only" holds $18-6=12$ and "$B$ only" holds $14-6=8$.
Filling the outer regions first is where double counting happens.
The addition rule
$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$The subtraction is there because the overlap was counted twice. For mutually exclusive events the overlap is empty and the rule collapses to plain addition — that is the only case where you may add without subtracting.
Conditional probability
$P(A\mid B)$ means "the probability of $A$ given that $B$ has happened". The condition changes the denominator: you are no longer choosing from everyone, only from the members of $B$.
$$P(A\mid B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$$Wording that signals a conditional: "given that", "of those who", "a student who studies French is chosen".
Reading the wording carefully
These three questions have three different answers from the same diagram:
- "studies both" → denominator is everyone;
- "studies German given that they study French" → denominator is the French set;
- "studies French given that they study German" → denominator is the German set.
Điền sơ đồ Venn. Luôn bắt đầu từ phần giao rồi lan ra ngoài. Nếu $n(A)=18$, $n(B)=14$ và $n(A\cap B)=6$ thì vùng “chỉ $A$” chứa $18-6=12$ và vùng “chỉ $B$” chứa $14-6=8$.
Điền vùng ngoài trước chính là chỗ sinh ra lỗi đếm trùng — con số $18$ đề cho đã bao gồm $6$ người ở phần giao, nên viết $18$ vào vùng “chỉ $A$” là đếm sáu người đó hai lần.
Quy tắc cộng.
$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$Phép trừ có mặt vì phần giao đã bị đếm hai lần. Với biến cố xung khắc, phần giao rỗng và quy tắc rút về phép cộng thuần — đó là trường hợp duy nhất được cộng mà không trừ.
Xác suất có điều kiện. $P(A\mid B)$ nghĩa là “xác suất của $A$ khi biết rằng $B$ đã xảy ra”. Điều kiện làm đổi mẫu số: ta không còn chọn từ toàn bộ, mà chỉ chọn trong số các phần tử của $B$.
$$P(A\mid B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$$Các cách diễn đạt báo hiệu có điều kiện: “given that”, “of those who”, “a student who studies French is chosen”.
Đọc kỹ lời đề. Cùng một sơ đồ, ba câu hỏi sau cho ba đáp số khác nhau:
- “học cả hai môn” → mẫu số là toàn bộ;
- “học Đức, biết rằng học Pháp” → mẫu số là tập học Pháp;
- “học Pháp, biết rằng học Đức” → mẫu số là tập học Đức.
Ba mẫu số khác nhau, ba đáp số khác nhau, và cả ba đều là những con số trông hợp lý.
Trong một lớp $30$ học sinh, $18$ em học Toán nâng cao, $14$ em học Lý, và $6$ em học cả hai. (a) Có bao nhiêu em không học môn nào trong hai môn đó? (b) Chọn ngẫu nhiên một em đang học Toán nâng cao; tính xác suất em đó cũng học Lý.
(a) Điền từ giữa ra. Phần giao là $6$. Vậy:
- chỉ Toán: $18-6=12$;
- chỉ Lý: $14-6=8$;
- ít nhất một môn: $12+6+8=26$.
Cùng kết quả bằng quy tắc cộng: $n(A\cup B)=18+14-6=26$, rồi $30-26=4$. Phép trừ $-6$ ở đó vì $6$ em học cả hai đã bị đếm trong cả $18$ lẫn $14$.
(b) Điều kiện đổi mẫu số. Đề nói “chọn một em đang học Toán nâng cao”, nên không gian chọn thu về $18$ em đó, không phải $30$:
$$P(\text{Lý}\mid\text{Toán})=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$$So sánh cho rõ sự khác nhau: nếu đề hỏi “chọn một em bất kỳ trong lớp, xác suất em đó học cả hai môn” thì mẫu số là $30$ và đáp số là $\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}$. Cùng tử số $6$, hai đáp số khác hẳn nhau — và cả hai đều là những phân số trông rất hợp lý.
Trong $40$ học sinh, $24$ em học tiếng Pháp, trong đó $10$ em học cả tiếng Đức. Tổng số em học tiếng Đức là $16$. (a) Tính $P(\text{Đức}\mid\text{Pháp})$. (b) Tính $P(\text{Pháp}\mid\text{Đức})$. (c) Giải thích vì sao hai đáp số khác nhau.
(a) Điều kiện là “học tiếng Pháp”, nên mẫu số là $24$:
$$P(\text{Đức}\mid\text{Pháp})=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\approx 0.417$$(b) Điều kiện là “học tiếng Đức”, nên mẫu số là $16$:
$$P(\text{Pháp}\mid\text{Đức})=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}=0.625$$(c) Hai xác suất có cùng tử số — vẫn là $10$ em học cả hai — nhưng mẫu số khác nhau, vì điều kiện chỉ định hai nhóm có kích thước khác nhau.
Diễn đạt bằng lời cho dễ thấy: trong $24$ em học Pháp thì $10$ em cũng học Đức, tức khoảng $42\%$. Trong $16$ em học Đức thì $10$ em cũng học Pháp, tức $62{,}5\%$. Nhóm học Đức nhỏ hơn, nên cùng $10$ em ấy chiếm tỉ lệ lớn hơn trong nhóm đó.
Kết luận đáng nhớ: $P(A\mid B)$ và $P(B\mid A)$ nói chung không bằng nhau. Đổi chỗ hai vế của một xác suất có điều kiện là một lỗi thực chất, không phải lỗi ký hiệu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Probability gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.