Mục lục bài họcĐang ở d09-b1
Averages and spread
Three averages, three jobs
- Mean — add everything, divide by how many. Uses every value, so a single extreme value drags it.
- Median — the middle value when ordered. Ignores how far away the extremes are, so it is resistant to them.
- Mode — the most common value. The only average that works for non-numerical data such as colours.
A question asking "which average best represents this data?" is asking about extreme values. If there is one very large or very small value, the answer is the median, and you must say why.
Mean from a frequency table
$$\text{mean}=\frac{\sum fx}{\sum f}$$Multiply each value by its frequency, add those products, then divide by the total frequency — not by the number of rows in the table. Dividing by the number of rows is the most common error in the whole topic.
Spread
$$\text{range}=\text{largest}-\text{smallest}$$The range is a single number, not an interval: "from $3$ to $11$" is not a range, "$8$" is.
Working backwards from a mean
If the mean of $n$ values is $m$, then the total is $n\times m$. Almost every "find the missing value" question is solved by recovering that total first.
Ba số đo trung tâm, ba việc khác nhau.
- Trung bình — cộng hết rồi chia cho số lượng. Dùng mọi giá trị, nên chỉ một giá trị cực đoan cũng kéo nó đi.
- Trung vị — giá trị ở giữa sau khi sắp thứ tự. Không quan tâm giá trị cực đoan xa đến đâu, nên nó bền với chúng.
- Mốt — giá trị xuất hiện nhiều nhất. Là số đo duy nhất dùng được cho dữ liệu không phải số, ví dụ màu sắc hay môn học yêu thích.
Câu hỏi “số đo nào đại diện tốt nhất cho dữ liệu này?” thực chất đang hỏi về giá trị cực đoan. Có một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ thì đáp án là trung vị, và phải nói rõ vì sao — điểm nằm ở lý do.
Trung bình từ bảng tần số.
$$\text{trung bình}=\frac{\sum fx}{\sum f}$$Nhân mỗi giá trị với tần số của nó, cộng các tích lại, rồi chia cho tổng tần số — không phải chia cho số dòng của bảng. Chia cho số dòng là lỗi phổ biến nhất của cả chương, và nó luôn cho ra một số lớn hơn hẳn giá trị đúng.
Độ phân tán.
$$\text{khoảng biến thiên}=\text{lớn nhất}-\text{nhỏ nhất}$$Khoảng biến thiên là một số, không phải một đoạn: “từ $3$ tới $11$” không phải câu trả lời, “$8$” mới là.
Đi ngược từ trung bình. Nếu trung bình của $n$ giá trị là $m$ thì tổng bằng $n\times m$. Gần như mọi câu “tìm giá trị còn thiếu” đều giải bằng cách khôi phục tổng đó trước.
Bảng ghi số anh chị em của $20$ học sinh: giá trị $1$ có $5$ em, giá trị $2$ có $8$ em, giá trị $3$ có $4$ em, giá trị $4$ có $3$ em. Tính trung bình, trung vị và mốt.
Trung bình. Nhân từng giá trị với tần số rồi cộng:
$$\sum fx=1(5)+2(8)+3(4)+4(3)=5+16+12+12=45$$$$\text{trung bình}=\frac{45}{20}=2.25$$Mẫu số là $20$ — tổng tần số, tức tổng số học sinh — chứ không phải $4$, số dòng của bảng. Chia cho $4$ ra $11{,}25$, một con số lớn hơn cả giá trị lớn nhất trong bảng, nên phi lý ngay.
Trung vị. Có $20$ giá trị nên trung vị nằm giữa giá trị thứ $10$ và thứ $11$. Cộng dồn tần số: $5$ em đầu có giá trị $1$; $13$ em đầu có giá trị $\le 2$. Vậy cả giá trị thứ $10$ và thứ $11$ đều bằng $2$:
$$\text{trung vị}=2$$Mốt. Tần số lớn nhất là $8$, ứng với giá trị $2$. Vậy mốt bằng $2$.
Lưu ý: mốt là giá trị $2$, không phải tần số $8$. Trả lời “$8$” là lỗi trả lời nhầm cột, và nó xuất hiện đều đặn ở mọi kỳ thi.
Trung bình của $5$ số là $12$. Thêm một số thứ sáu thì trung bình mới là $13$. Tìm số thứ sáu.
Bước 1 — khôi phục tổng ban đầu.
$$\text{tổng}_{5}=5\times 12=60$$Bước 2 — khôi phục tổng mới.
$$\text{tổng}_{6}=6\times 13=78$$Bước 3 — số thứ sáu là hiệu.
$$78-60=18$$Vì sao không được cộng $1$ vào $12$. Trung bình tăng $1$ đơn vị, nhưng nó tăng cho cả sáu số, nên số mới phải bù thêm $6\times 1=6$ đơn vị so với mức trung bình cũ: $12+6=18$ ✓. Cách hiểu này giải thích vì sao đáp số là $18$ chứ không phải $13$.
Toàn bộ dạng “tìm giá trị còn thiếu” đều làm theo ba bước trên: trung bình nhân số lượng ra tổng, và mọi thứ khác suy ra từ hai tổng.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Statistics gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.