Mục lục bài họcĐang ở d07-b4
Energy in SHM and Recognizing SHM from a Potential
Energy bookkeeping
For a linear restoring force $F=-kx$ the potential energy is $U=\tfrac12kx^{2}$, so the total mechanical energy is constant:
$$E=\tfrac12mv^{2}+\tfrac12kx^{2}=\tfrac12kA^{2}=\tfrac12mv_{max}^{2}$$Solving for $v$ gives a relation that avoids time entirely — often the fastest route on the exam:
$$v(x)=\pm\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}$$Note $E\propto A^{2}$: doubling the amplitude quadruples the energy but leaves $\omega$ untouched.
Reading SHM out of any potential energy function
This is the signature Physics C move. Given any $U(x)$, the force is $F=-dU/dx$. An equilibrium is a point $x_0$ where $U'(x_0)=0$; it is stable when $U''(x_0)>0$. Expanding in a Taylor series about $x_0$:
$$U(x)\approx U(x_0)+\tfrac12U''(x_0)(x-x_0)^{2}$$The linear term vanishes because $U'(x_0)=0$. What is left has exactly the form $\tfrac12k_{eff}u^{2}$, so
$$k_{eff}=U''(x_0),\qquad \omega=\sqrt{\frac{U''(x_0)}{m}}$$Every smooth potential minimum behaves like a spring for small enough oscillations. This is why SHM shows up in molecules, in atoms in a crystal, and in orbits — not because springs are common, but because minima are.
Sổ năng lượng. Với lực kéo về tuyến tính, thế năng là $U=\tfrac12kx^{2}$ và cơ năng bảo toàn:
$$E=\tfrac12mv^{2}+\tfrac12kx^{2}=\tfrac12kA^{2}=\tfrac12mv_{max}^{2}$$Rút $v$ ra được một công thức không dính thời gian, thường là đường ngắn nhất trong phòng thi:
$$v(x)=\pm\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}$$Để ý $E$ tỉ lệ với $A^{2}$: tăng biên độ gấp đôi thì năng lượng gấp bốn, còn $\omega$ không đổi một chút nào.
Đây là phần mang dấu ấn riêng của Physics C. Cho một hàm thế năng $U(x)$ bất kì, lực là $F=-dU/dx$. Vị trí cân bằng là chỗ $U'(x_0)=0$; cân bằng bền khi $U''(x_0)>0$. Khai triển Taylor quanh đó:
$$U(x)\approx U(x_0)+\tfrac12U''(x_0)(x-x_0)^{2}$$Số hạng bậc nhất biến mất vì $U'(x_0)=0$. Phần còn lại có đúng dạng $\tfrac12k(x-x_0)^2$, nên
$$k_{hd}=U''(x_0),\qquad \omega=\sqrt{\frac{U''(x_0)}{m}}$$Mọi cực tiểu trơn đều là một lò xo nếu ta chỉ nhìn đủ gần. Đó là lý do dao động điều hoà xuất hiện ở phân tử, ở nguyên tử trong tinh thể, ở quỹ đạo — không phải vì lò xo phổ biến, mà vì cực tiểu phổ biến.
Một hạt khối lượng $m$ chuyển động dọc trục $x>0$ trong thế năng $U(x)=\dfrac{a}{x^{2}}-\dfrac{b}{x}$, với $a,b>0$. Tìm vị trí cân bằng và tần số góc của dao động nhỏ quanh vị trí đó.
Bước 1 — vị trí cân bằng. Lấy đạo hàm rồi cho bằng $0$:
$$U'(x)=-\frac{2a}{x^{3}}+\frac{b}{x^{2}}=0\ \Longrightarrow\ \frac{b}{x^{2}}=\frac{2a}{x^{3}}\ \Longrightarrow\ x_{0}=\frac{2a}{b}$$Bước 2 — đạo hàm cấp hai:
$$U''(x)=\frac{6a}{x^{4}}-\frac{2b}{x^{3}}$$Bước 3 — thay $x_{0}=2a/b$. Dùng $x_0^{3}=8a^{3}/b^{3}$ và $x_0^{4}=16a^{4}/b^{4}$:
$$U''(x_{0})=\frac{6ab^{4}}{16a^{4}}-\frac{2b^{4}}{8a^{3}}=\frac{3b^{4}}{8a^{3}}-\frac{2b^{4}}{8a^{3}}=\frac{b^{4}}{8a^{3}}$$Kết quả dương nên đây là cân bằng bền, đúng điều kiện để có dao động.
Bước 4 — tần số góc:
$$\omega=\sqrt{\frac{U''(x_{0})}{m}}=\sqrt{\frac{b^{4}}{8a^{3}m}}=\frac{b^{2}}{2a}\sqrt{\frac{1}{2am}}$$Soát thứ nguyên: $U''$ có đơn vị năng lượng trên bình phương chiều dài, tức N/m — đúng đơn vị của một độ cứng.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Oscillations gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.