Mục lục bài họcĐang ở d01-b2
Constant Acceleration and Free Fall
The four equations are theorems, not axioms
When $a$ is constant, the integrals collapse and give the familiar set:
$$v=v_0+at,\qquad x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2$$$$v^2=v_0^2+2a\left(x-x_0\right),\qquad x=x_0+\tfrac12\left(v_0+v\right)t$$The third one is worth deriving rather than memorising, because the derivation is itself an exam skill. Write acceleration with the chain rule in terms of position:
$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}\;\Longrightarrow\;\int v\,dv=\int a\,dx$$With constant $a$ this integrates to $\tfrac12v^2-\tfrac12v_0^2=a\Delta x$. The form $v\,dv=a\,dx$ survives even when $a$ is not constant, which is why it reappears in the last section of this unit.
Free fall is the same set with $a=-g$ once up is positive. At the top of the flight $v=0$ but $a=-g$ still — the two are independent. The last equation, $x=x_0+\tfrac12\left(v_0+v\right)t$, is only valid for constant acceleration, because only then is the average velocity the mean of the endpoints.
Khi $a$ không đổi, hai tích phân ở bài trước rút gọn thành bộ bốn công thức quen thuộc:
$$v=v_0+at,\qquad x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2$$$$v^2=v_0^2+2a\left(x-x_0\right),\qquad x=x_0+\tfrac12\left(v_0+v\right)t$$Công thức thứ ba nên dựng lại chứ đừng học vẹt, vì chính cách dựng nó là một kỹ năng bị hỏi ở FRQ. Viết gia tốc theo vị trí bằng quy tắc dây chuyền:
$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}\;\Longrightarrow\;\int v\,dv=\int a\,dx$$Với $a$ không đổi, tích phân cho $\tfrac12v^2-\tfrac12v_0^2=a\Delta x$. Điều đáng giá: dạng $v\,dv=a\,dx$ vẫn đúng khi $a$ thay đổi, nên nó quay lại ở bài cuối chương.
Rơi tự do là đúng bộ đó với $a=-g$ khi chọn chiều dương hướng lên. Ở điểm cao nhất $v=0$ nhưng $a$ vẫn bằng $-g$ — hai đại lượng độc lập nhau. Công thức cuối $x=x_0+\tfrac12\left(v_0+v\right)t$ chỉ đúng khi gia tốc không đổi, vì chỉ khi đó vận tốc trung bình mới bằng trung bình cộng hai đầu. Dùng nó cho $a(t)$ thay đổi là sai ngay từ dòng đầu.
Một quả bóng được ném thẳng đứng lên từ mép sân thượng cao $45$ m với $v_0=20$ m/s. Lấy $g=10$ m/s$^2$, bỏ qua sức cản.
a) Độ cao lớn nhất so với mặt đất. b) Thời gian bay tới khi chạm đất. c) Tốc độ lúc chạm đất, tính bằng hai cách khác nhau.
Chọn gốc ở mặt đất, chiều dương hướng lên: $y_0=45$, $v_0=+20$, $a=-10$.
a) Tại đỉnh $v=0$, dùng $v^2=v_0^2+2a\Delta y$:
$$0=400-20\,\Delta y\;\Rightarrow\;\Delta y=20\text{ m}\;\Rightarrow\;y_{\max}=45+20=65\text{ m}$$b) Chạm đất khi $y=0$:
$$0=45+20t-5t^2\;\Longrightarrow\;t^2-4t-9=0\;\Rightarrow\;t=\frac{4+\sqrt{16+36}}{2}=2+\sqrt{13}\approx 5{,}61\text{ s}$$Nghiệm âm bị loại vì nó ứng với quá khứ trước khi ném.
c) Cách một, dùng $v=v_0+at$: $v=20-10\left(5{,}61\right)\approx-36{,}1$ m/s, tốc độ $36{,}1$ m/s.
Cách hai, dùng $v^2=v_0^2+2a\Delta y$ với $\Delta y=-45$: $v^2=400+900=1300$, $v\approx-36{,}06$ m/s. Hai cách khớp nhau trong sai số làm tròn, và cách hai không cần biết $t$ — đó là lý do luôn nên chọn công thức không chứa đại lượng mà đề không hỏi.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 1 — Kinematics gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.