Mục lục bài họcĐang ở d07-b1
Simple Harmonic Motion and Its Differential Equation
The defining condition
A system undergoes simple harmonic motion (SHM) when the net force is a linear restoring force: proportional to the displacement from equilibrium and directed back toward it, $F_{net}=-kx$. Newton's second law then gives a second-order differential equation:
$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx\qquad\Longleftrightarrow\qquad\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2x,\qquad \omega^2=\frac{k}{m}$$In Physics C this equation is the definition. You are expected to start from forces or torques, reach an equation of this shape, and read $\omega$ off the coefficient multiplying the displacement — never to quote a memorized period.
The general solution
$$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$$$$v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),\qquad a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^2x$$The angular frequency $\omega=2\pi/T=2\pi f$ is fixed by the system alone. The amplitude $A$ and the phase constant $\varphi$ are fixed by the initial conditions $x(0)=x_0$ and $v(0)=v_0$:
$$A=\sqrt{x_0^{2}+\frac{v_0^{2}}{\omega^{2}}},\qquad \tan\varphi=-\frac{v_0}{\omega x_0}$$Because $\tan$ repeats every $\pi$, the equation for $\varphi$ has two roots in one cycle; the sign of $v_0$ selects which one is physical.
Điều kiện định nghĩa. Một hệ dao động điều hoà khi hợp lực là lực kéo về tuyến tính: tỉ lệ với li độ và luôn hướng ngược lại về vị trí cân bằng, $F=-kx$. Định luật II Newton biến điều đó thành một phương trình vi phân cấp hai:
$$\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2x,\qquad \omega^2=\frac{k}{m}$$Ở Physics C, phương trình này chính là định nghĩa. Việc của bạn là xuất phát từ lực (hoặc momen lực), biến đổi tới dạng "đạo hàm cấp hai bằng số âm nhân với chính đại lượng đó", rồi đọc $\omega^2$ ngay ở hệ số. Không cần nhớ công thức chu kì của từng hệ — nhớ cách suy ra thì mọi hệ lạ đều làm được.
Nghiệm tổng quát $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$, kéo theo $v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$ và $a=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^2x$.
Chia đôi vai trò cho rõ: $\omega$ do hệ quyết định (khối lượng, độ cứng, chiều dài); còn $A$ và $\varphi$ do cách bạn khởi động quyết định. Từ điều kiện đầu $x_0$ và $v_0$:
$$A=\sqrt{x_0^{2}+\frac{v_0^{2}}{\omega^{2}}},\qquad \tan\varphi=-\frac{v_0}{\omega x_0}$$Hàm $\tan$ lặp lại sau mỗi $\pi$, nên phương trình pha có hai nghiệm trong một chu kì. Dấu của $v_0$ là thứ chọn ra nghiệm đúng.
Một vật $m=0{,}50$ kg gắn vào lò xo $k=200$ N/m trên mặt ngang nhẵn. Tại $t=0$ vật ở $x_0=+0{,}030$ m và có vận tốc $v_0=-0{,}80$ m/s. Viết $x(t)$ dưới dạng $A\cos(\omega t+\varphi)$.
Bước 1 — $\omega$ từ hệ:
$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{200}{0{,}50}}=\sqrt{400}=20\ \text{rad/s}$$Bước 2 — biên độ từ điều kiện đầu. Chú ý $v_0/\omega=-0{,}80/20=-0{,}040$ m:
$$A=\sqrt{x_0^{2}+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^{2}}=\sqrt{(0{,}030)^2+(0{,}040)^2}=\sqrt{0{,}0025}=0{,}050\ \text{m}$$Bước 3 — pha ban đầu. Từ $x_0=A\cos\varphi$: $\cos\varphi=0{,}030/0{,}050=0{,}60$, cho $\varphi=\pm0{,}927$ rad.
Chọn dấu bằng vận tốc: $v_0=-A\omega\sin\varphi$. Vì $v_0<0$ nên $\sin\varphi>0$, tức $\varphi$ phải dương.
$$x(t)=0{,}050\cos(20t+0{,}927)\ \text{(m)}$$Bước 4 — soát nhanh bằng phép thế: $x(0)=0{,}050(0{,}60)=0{,}030$ m và $v(0)=-0{,}050(20)(0{,}80)=-0{,}80$ m/s. Cả hai điều kiện đầu đều khớp.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Oscillations gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.