Mục lục bài họcĐang ở d05-b1
Rotational Kinematics with Calculus
Three quantities, two derivatives
$$\omega=\frac{d\theta}{dt},\qquad \alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}$$Read backwards, the same ladder is built from integrals:
$$\omega(t)=\omega_0+\int_0^{t}\alpha(t')\,dt',\qquad \theta(t)=\theta_0+\int_0^{t}\omega(t')\,dt'$$Angles are measured in radians throughout; every formula below silently assumes it. The constant-angular-acceleration equations
$$\omega=\omega_0+\alpha t,\qquad \theta=\theta_0+\omega_0 t+\tfrac12\alpha t^{2},\qquad \omega^{2}=\omega_0^{2}+2\alpha\Delta\theta$$are not the definition of anything; they are what the integrals collapse to when $\alpha$ happens to be constant. On AP Physics C, $\alpha$ is very often a function of time, and then those three equations are simply wrong.
Linking to the rim
A point a distance $r$ from the axis has $s=r\theta$, tangential speed $v=r\omega$, tangential acceleration $a_t=r\alpha$, and centripetal acceleration $a_c=r\omega^{2}=v^{2}/r$. A spinning body at constant $\omega$ still has acceleration: $a_c$ never vanishes.
Ba đại lượng góc nối nhau đúng như trong động học thẳng: $\omega=\dfrac{d\theta}{dt}$ và $\alpha=\dfrac{d\omega}{dt}$. Đọc ngược lại thì thay đạo hàm bằng tích phân, và hằng số tích phân chính là giá trị ban đầu $\omega_0$ hoặc $\theta_0$ — quên nó là mất trọn phần điểm đầu tiên của câu tự luận.
Mọi công thức ở đây đo góc bằng radian, không có ngoại lệ. Đề cho vòng/phút thì phải quy đổi trước khi đụng vào bất cứ thứ gì.
Điểm phân biệt Physics C với Physics 1 nằm ở chỗ này: bộ ba $\omega=\omega_0+\alpha t$, $\theta=\theta_0+\omega_0t+\frac12\alpha t^2$, $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta\theta$ không phải định nghĩa. Chúng chỉ là kết quả của tích phân khi $\alpha$ tình cờ là hằng số. Đề Physics C rất hay cho $\alpha(t)$ phụ thuộc thời gian, khi đó ba công thức trên sai hoàn toàn — phải quay về tích phân.
Nối với chuyển động của một điểm trên vành cách trục $r$: $s=r\theta$, $v=r\omega$, gia tốc tiếp tuyến $a_t=r\alpha$, gia tốc hướng tâm $a_c=r\omega^2$. Vật quay đều vẫn có gia tốc, vì $a_c$ không bao giờ bằng $0$.
Một bánh đà đứng yên tại $t=0$ chịu gia tốc góc $\alpha(t)=\left(4-t\right)$ rad/s$^2$. Tìm $\omega(t)$, thời điểm $\omega$ đạt cực đại, và góc quay được từ $t=0$ đến lúc đó.
Tích phân $\alpha$ với $\omega_0=0$:
$$\omega(t)=\int_0^t\left(4-t'\right)dt'=4t-\frac{t^2}{2}$$$\omega$ cực đại khi $\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha=0$, tức $t=4$ s. Khi đó $\omega=16-8=8$ rad/s.
Tích phân tiếp:
$$\theta(t)=\int_0^t\left(4t'-\frac{t'^2}{2}\right)dt'=2t^2-\frac{t^3}{6}$$$$\theta(4)=32-\frac{64}{6}=32-10{,}67=21{,}3\ \text{rad}$$Thử làm bằng công thức $\alpha$ hằng số xem sai bao nhiêu: lấy $\alpha=4$ thì $\theta=\frac12(4)(16)=32$ rad — lệch hơn $50\%$. Đó là cái giá của việc dùng nhầm bộ công thức.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 5 — Torque and Rotational Dynamics gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.