Mục lục bài họcĐang ở d05-b3
Rotational Inertia by Integration and the Parallel-Axis Theorem
The definition you are expected to use, not just quote
$$I=\sum m_i r_i^{2}\;\longrightarrow\; I=\int r^{2}\,dm$$$r$ is the distance from the axis of rotation, not from the origin and not from the centre of mass unless the axis happens to pass through it. Every integration follows the same four steps: choose a mass element whose points share one value of $r$; write $dm$ in terms of a density ($dm=\lambda\,dx$ for a rod, $dm=\sigma\,dA$ for a plate, $dm=\rho\,dV$ for a solid); express the density through the total mass; integrate over the whole body.
Standard results, each obtainable from that recipe:
$$I_{\text{rod, centre}}=\tfrac{1}{12}ML^{2},\quad I_{\text{rod, end}}=\tfrac13ML^{2},\quad I_{\text{hoop}}=MR^{2},\quad I_{\text{disk}}=\tfrac12MR^{2},\quad I_{\text{sphere}}=\tfrac25MR^{2}$$Parallel-axis theorem
$$I=I_{\text{cm}}+Md^{2}$$valid only when $I_{\text{cm}}$ is taken about an axis through the centre of mass that is parallel to the new one, with $d$ the distance between the two axes.
Đây là dấu ấn riêng của Physics C: Physics 1 cho sẵn công thức, còn ở đây bạn phải lập và tính tích phân $I=\int r^2\,dm$.
Bốn bước không bao giờ đổi. Một: chọn phần tử khối lượng sao cho mọi điểm trong nó cách trục cùng một khoảng $r$ — thanh thì cắt thành đoạn $dx$, đĩa thì cắt thành vành bán kính $r$ dày $dr$, cầu thì cắt thành đĩa mỏng. Hai: viết $dm$ theo mật độ: $dm=\lambda\,dx$, $dm=\sigma\,dA=\sigma\,2\pi r\,dr$, $dm=\rho\,dV$. Ba: khử mật độ bằng khối lượng tổng, thường qua $M=\int dm$. Bốn: tích phân trên toàn vật.
Vì sao đĩa ra $\frac12MR^2$ còn vành ra $MR^2$: vành có toàn bộ khối lượng ở đúng khoảng cách $R$, còn đĩa có phần lớn khối lượng nằm gần trục hơn, mà $r^2$ phạt rất nặng những phần ở xa. Cùng $M$ và $R$, vật nào dồn khối lượng ra biên thì $I$ lớn hơn.
Định lý trục song song $I=I_{cm}+Md^2$ chỉ đúng khi trục thứ nhất đi qua khối tâm và song song với trục thứ hai. Hệ quả: $I$ nhỏ nhất luôn ứng với trục qua khối tâm, vì $Md^2$ luôn dương.
Thanh dài $L$ nằm trên trục $x$ từ $x=0$ đến $x=L$, mật độ dài $\lambda(x)=\lambda_0\dfrac{x}{L}$. Tính khối lượng $M$ và momen quán tính quanh trục vuông góc với thanh tại $x=0$, kết quả theo $M$ và $L$.
Khối lượng:
$$M=\int_0^L\lambda_0\frac{x}{L}\,dx=\frac{\lambda_0}{L}\cdot\frac{L^2}{2}=\frac{\lambda_0L}{2}\ \Longrightarrow\ \lambda_0=\frac{2M}{L}$$Momen quán tính:
$$I=\int_0^Lx^2\lambda(x)\,dx=\frac{\lambda_0}{L}\int_0^Lx^3dx=\frac{\lambda_0}{L}\cdot\frac{L^4}{4}=\frac{\lambda_0L^3}{4}$$Thay $\lambda_0=\dfrac{2M}{L}$:
$$I=\frac{2M}{L}\cdot\frac{L^3}{4}=\frac{ML^2}{2}$$So với thanh đồng chất quay quanh đầu ($\frac13ML^2\approx0{,}333ML^2$), giá trị $0{,}5ML^2$ lớn hơn — đúng như dự đoán, vì mật độ tăng dần nên khối lượng dồn về đầu xa trục.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 5 — Torque and Rotational Dynamics gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.