Mục lục bài họcĐang ở d01-b3
Projectile Motion and Relative Motion
Two independent one-dimensional problems
Projectile motion with no drag is just two of the previous problems running on the same clock:
$$a_x=0:\quad x=v_0\cos\theta\,t\qquad\qquad a_y=-g:\quad y=v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^2$$The only thing the two axes share is $t$. Eliminating $t$ gives the trajectory, a parabola in $x$:
$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$$Useful consequences: the speed is minimum at the apex, where it equals $v_0\cos\theta$ and is never zero; the range over level ground is $R=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$, so $\theta$ and $90^\circ-\theta$ give the same range; and the symmetry of rise and fall holds only when launch and landing heights are equal.
Relative motion
Velocities add as vectors between reference frames:
$$\vec v_{A/C}=\vec v_{A/B}+\vec v_{B/C},\qquad \vec v_{A/B}=-\vec v_{B/A}$$Because $\vec a$ is the same in all frames moving at constant velocity, a projectile viewed from a frame falling with $a=-g$ moves in a straight line at constant velocity. That single observation solves many "monkey and hunter" style questions in one step.
Ném xiên không sức cản chỉ là hai bài một chiều chạy chung một cái đồng hồ:
$$a_x=0:\quad x=v_0\cos\theta\,t\qquad\qquad a_y=-g:\quad y=v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^2$$Thứ duy nhất hai trục dùng chung là $t$. Khử $t$ ra phương trình quỹ đạo, một parabol theo $x$:
$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$$Vài hệ quả hay bị hỏi: tốc độ nhỏ nhất ở đỉnh và bằng $v_0\cos\theta$, không bao giờ bằng $0$; tầm xa trên mặt phẳng ngang $R=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$ nên $\theta$ và $90^\circ-\theta$ cho cùng tầm xa; tính đối xứng lên - xuống chỉ đúng khi điểm ném và điểm rơi cùng độ cao.
Chuyển động tương đối. Vận tốc cộng theo vectơ khi đổi hệ quy chiếu:
$$\vec v_{A/C}=\vec v_{A/B}+\vec v_{B/C},\qquad \vec v_{A/B}=-\vec v_{B/A}$$Vì gia tốc như nhau trong mọi hệ chuyển động thẳng đều, một vật ném xiên nhìn từ hệ rơi với gia tốc $-g$ sẽ đi thẳng đều. Nhận xét một dòng đó giải gọn cả lớp bài "thợ săn và con khỉ" mà không cần lập phương trình.
Từ mặt đất, một vật được ném với $v_0=25$ m/s, góc $53^\circ$ so với phương ngang ($\sin 53^\circ=0{,}8$; $\cos 53^\circ=0{,}6$), lấy $g=10$ m/s$^2$.
a) Thời gian bay và tầm xa. b) Tốc độ nhỏ nhất trong cả quá trình. c) Tại thời điểm nào vectơ vận tốc hợp với phương ngang góc $45^\circ$ hướng xuống?
Tách hai trục: $v_x=25\cdot 0{,}6=15$ m/s không đổi; $v_{y0}=25\cdot0{,}8=20$ m/s.
a) Chạm đất khi $y=0$: $20t-5t^2=0$ cho $t=4$ s. Tầm xa $R=15\cdot4=60$ m.
Kiểm bằng công thức tầm xa: $R=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}=\dfrac{625\cdot 2\cdot0{,}8\cdot0{,}6}{10}=60$ m, khớp.
b) Tốc độ nhỏ nhất đạt ở đỉnh, khi $v_y=0$, và bằng chính $v_x=15$ m/s. Nó không bằng $0$ — vật vẫn bay ngang $15$ m/s ở đỉnh.
c) Hợp $45^\circ$ hướng xuống nghĩa là $v_y=-v_x=-15$ m/s.
$$v_y=20-10t=-15\;\Longrightarrow\;t=3{,}5\text{ s}$$Thời điểm này nằm trong khoảng bay $\left[0;4\right]$ nên hợp lệ. Lưu ý dấu: nếu chỉ viết $\tan45^\circ=\left|v_y\right|/v_x$ mà bỏ dấu, ta được thêm nghiệm $t=0{,}5$ s — đó là lúc vận tốc hợp $45^\circ$ hướng lên, không phải cái đề hỏi.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 1 — Kinematics gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.