Mục lục bài họcĐang ở d07-b2
The Mass–Spring System and the Simple Pendulum
Mass on a spring, horizontal or vertical
Horizontally, $\sum F=-kx$ gives $\omega=\sqrt{k/m}$ and $T=2\pi\sqrt{m/k}$ directly. Hung vertically, the spring first stretches by $x_{eq}=mg/k$. Measuring $y$ from that new equilibrium,
$$\sum F=k(x_{eq}-y)-mg=-ky$$The constant $mg$ cancels exactly. Gravity shifts the equilibrium point but does not change $\omega$. A useful consequence: measuring the static stretch $x_{eq}$ is enough to get the period, since $T=2\pi\sqrt{x_{eq}/g}$.
The simple pendulum
Taking torques about the pivot for a bob of mass $m$ on a massless string of length $L$:
$$I\frac{d^2\theta}{dt^2}=-mgL\sin\theta,\qquad I=mL^{2}$$$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{L}\sin\theta$$This is not the SHM equation: $\sin\theta$ is not proportional to $\theta$. Only under the small-angle approximation $\sin\theta\approx\theta$ (the first term of the Taylor series $\sin\theta=\theta-\theta^{3}/6+\dots$) does it become $\ddot\theta=-(g/L)\theta$, giving
$$\omega=\sqrt{\frac{g}{L}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$Independent of both the mass and — within the approximation — the amplitude.
Con lắc lò xo nằm ngang: $\sum F=-kx$ nên $\omega=\sqrt{k/m}$, $T=2\pi\sqrt{m/k}$.
Treo thẳng đứng thì sao? Lò xo giãn sẵn một đoạn $x_{cb}=mg/k$. Đo li độ $y$ từ vị trí cân bằng mới đó:
$$\sum F=k(x_{cb}-y)-mg=-ky$$Số hạng $mg$ triệt tiêu hoàn toàn. Nghĩa là trọng lực chỉ dời vị trí cân bằng chứ không đụng gì tới $\omega$. Hệ quả rất tiện: chỉ cần đo độ giãn tĩnh $x_{cb}$ là ra chu kì, vì $T=2\pi\sqrt{x_{cb}/g}$ — không cần biết $m$ lẫn $k$.
Con lắc đơn. Lấy momen quanh trục treo, với $I=mL^2$:
$$mL^{2}\frac{d^2\theta}{dt^2}=-mgL\sin\theta\ \Longrightarrow\ \frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{L}\sin\theta$$Đây chưa phải phương trình dao động điều hoà, vì $\sin\theta$ không tỉ lệ với $\theta$. Phải dùng xấp xỉ góc nhỏ $\sin\theta\approx\theta$ — chính là số hạng đầu của khai triển $\sin\theta=\theta-\theta^3/6+\dots$ — mới thu được $\ddot\theta=-(g/L)\theta$ và
$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$Chu kì không phụ thuộc khối lượng, và trong phạm vi xấp xỉ thì cũng không phụ thuộc biên độ. Nhớ rằng "không phụ thuộc biên độ" là kết quả của phép xấp xỉ, không phải một sự thật vĩnh viễn.
Treo một vật vào lò xo thẳng đứng, lò xo giãn thêm $8{,}0$ cm rồi vật đứng yên. Kéo vật xuống thêm một chút rồi thả. Lấy $g=9{,}8$ m/s². Tính chu kì dao động, không dùng tới $m$ hay $k$.
Ở vị trí cân bằng, lực đàn hồi cân với trọng lực:
$$kx_{cb}=mg\ \Longrightarrow\ \frac{m}{k}=\frac{x_{cb}}{g}$$Thay thẳng vào công thức chu kì:
$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{x_{cb}}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}080}{9{,}8}}$$$$T=2\pi\sqrt{8{,}16\times10^{-3}}=2\pi(0{,}0904)=0{,}568\ \text{s}$$Tỉ số $m/k$ là tất cả những gì chu kì cần, và độ giãn tĩnh đã đo hộ ta tỉ số đó. Đây cũng là mẹo thí nghiệm: một cây thước là đủ để suy ra chu kì.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Oscillations gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.