Mục lục bài họcĐang ở d04-b2
Conservation of Momentum and Collisions in One Dimension
Why momentum is conserved, and what a collision does to energy
$$\frac{d\vec P_{\text{sys}}}{dt}=\vec F_{\text{ext,net}}\;\Longrightarrow\;\vec F_{\text{ext,net}}=0\ \Rightarrow\ \vec P_{\text{sys}}=\text{constant}$$Internal forces come in third-law pairs, so they cancel in the sum and cannot change the total momentum of the system. Conservation of momentum is therefore not an extra law: it is the second law applied to a system with no net external force.
During a collision the internal contact forces are enormous and gravity or friction are comparatively tiny, so momentum is conserved to a very good approximation even when external forces exist, provided the interval is short.
Classifying collisions
- Elastic: $\Delta K=0$. Both momentum and kinetic energy are conserved.
- Inelastic: $K$ decreases; momentum is still conserved.
- Perfectly inelastic: the objects move off together with one common velocity. This is the case with the greatest possible loss of kinetic energy consistent with conservation of momentum — not the total loss of it.
For a one-dimensional elastic collision the two conservation laws together give the relative-velocity rule, which is far faster than solving a quadratic:
$$v_{1}-v_{2}=-\left(v_{1}'-v_{2}'\right),\qquad v_{1}'=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1},\quad v_{2}'=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$$The two boxed formulas assume target $2$ starts at rest; the relative-velocity rule needs no such assumption.
Động lượng của hệ chỉ đổi khi có ngoại lực: $\frac{d\vec P_{\text{hệ}}}{dt}=\vec F_{\text{ngoại}}$. Nội lực luôn đi thành cặp theo định luật III nên triệt tiêu khi cộng lại. Vì vậy bảo toàn động lượng không phải một định luật mới, nó chính là định luật II viết cho hệ.
Trong lúc va chạm, lực tiếp xúc bên trong lớn hơn trọng lực và ma sát rất nhiều lần, nên động lượng vẫn coi như bảo toàn dù có ngoại lực, miễn là khoảng thời gian đủ ngắn. Đây là lý do bài tập cho phép bỏ qua trọng lực ngay trong khoảnh khắc va chạm nhưng lại phải tính nó ngay sau đó.
Phân loại: đàn hồi giữ nguyên động năng; không đàn hồi làm động năng giảm; mềm (hoàn toàn không đàn hồi) là hai vật dính lại thành một, và đây là trường hợp động năng mất nhiều nhất có thể — nhưng không bao giờ mất hết, vì hệ vẫn phải giữ đúng động lượng ban đầu.
Với va chạm đàn hồi một chiều, hai định luật bảo toàn gộp lại cho quy tắc vận tốc tương đối đảo dấu: $v_{1}-v_{2}=-\left(v_{1}'-v_{2}'\right)$. Dùng quy tắc này thay cho việc giải phương trình bậc hai là cách tiết kiệm thời gian lớn nhất ở phần trắc nghiệm. Hai công thức $v_{1}'=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$ và $v_{2}'=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1}$ chỉ đúng khi vật $2$ ban đầu đứng yên; quy tắc vận tốc tương đối thì không cần điều kiện đó.
Vật $A$ nặng $2{,}0\ \mathrm{kg}$ chuyển động $5{,}0\ \mathrm{m/s}$ trên đường ray nhẵn, đâm vào vật $B$ nặng $3{,}0\ \mathrm{kg}$ đang đứng yên. Tính vận tốc sau va chạm và độ giảm động năng trong hai kịch bản: (i) hai vật dính vào nhau; (ii) va chạm đàn hồi.
Động lượng ban đầu (dùng chung cho cả hai kịch bản): $p=2{,}0(5{,}0)=10\ \mathrm{kg\cdot m/s}$. Động năng ban đầu: $K_i=\tfrac12(2{,}0)(5{,}0)^2=25\ \mathrm{J}$.
(i) Dính nhau. $10=(2{,}0+3{,}0)v$ nên $v=2{,}0\ \mathrm{m/s}$.
$$K_f=\tfrac12(5{,}0)(2{,}0)^2=10\ \mathrm{J}\;\Rightarrow\;\Delta K=-15\ \mathrm{J}$$Mất $60\%$ động năng — nhiều nhất có thể với động lượng này.
(ii) Đàn hồi. Dùng hai công thức cho bia đứng yên:
$$v_A'=\frac{2{,}0-3{,}0}{5{,}0}(5{,}0)=-1{,}0\ \mathrm{m/s},\qquad v_B'=\frac{2(2{,}0)}{5{,}0}(5{,}0)=4{,}0\ \mathrm{m/s}$$Kiểm động lượng: $2{,}0(-1{,}0)+3{,}0(4{,}0)=10$ ✓. Kiểm động năng: $\tfrac12(2)(1)+\tfrac12(3)(16)=1+24=25\ \mathrm{J}$ ✓, đúng bằng $K_i$ nên $\Delta K=0$.
Dấu âm của $v_A'$ nói vật nhẹ bật ngược lại. Điều này luôn xảy ra khi $m_1<m_2$, và luôn không xảy ra khi $m_1>m_2$ — nhìn dấu của $m_1-m_2$ là biết trước kết quả.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 4 — Linear Momentum gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.