Mục lục bài họcĐang ở d06-b3
Angular Momentum and the Rotational Second Law
Angular momentum of a particle
$$\vec L=\vec r\times\vec p=m(\vec r\times\vec v),\qquad |\vec L|=mvr\sin\theta=mvb$$Here $b=r\sin\theta$ is the perpendicular distance from the reference point to the line of the velocity — the impact parameter. Three consequences worth memorising: a particle need not travel in a circle to have angular momentum; $\vec L$ is meaningless until you name the point it is measured about; and a particle moving in a straight line at constant velocity has constant nonzero $\vec L$ about any off-line point, because $b$ never changes.
Rigid body about a fixed symmetry axis
$$L=I\omega$$Obtained by summing $\sum m_i r_i^2\omega$. It is the rotational partner of $p=mv$, with the same warning attached as everywhere in this unit: $I$ must be taken about the same axis $\omega$ refers to.
The second law, correctly stated
$$\vec\tau_{\text{net}}=\frac{d\vec L}{dt}$$This is more general than $\tau=I\alpha$, which assumes $I$ is constant. When the body reshapes itself — a skater, a collapsing star, a chain being reeled in — $I$ changes and only $\tau=dL/dt$ survives. Integrating gives the angular impulse $\int\vec\tau\,dt=\Delta\vec L$.
A useful bridge: for rolling and for $K=L^2/2I$, kinetic energy and angular momentum are linked by $K=\dfrac{L^2}{2I}$, so at fixed $L$, shrinking $I$ raises $K$.
Mômen động lượng của chất điểm
$$\vec L=\vec r\times\vec p=m(\vec r\times\vec v),\qquad |\vec L|=mvr\sin\theta=mvb$$Ở đây $b=r\sin\theta$ là khoảng cách vuông góc từ điểm mốc tới đường thẳng chứa vận tốc. Ba hệ quả nên thuộc: vật không cần đi theo đường tròn mới có mômen động lượng; $\vec L$ vô nghĩa cho tới khi nói rõ lấy đối với điểm nào; và một chất điểm chuyển động thẳng đều có $\vec L$ khác không và không đổi đối với mọi điểm nằm ngoài đường đi, vì $b$ không bao giờ đổi.
Vật rắn quay quanh trục đối xứng cố định
$$L=I\omega$$Suy từ tổng $\sum m_i r_i^2\omega$. Đây là bản quay của $p=mv$, kèm cảnh báo quen thuộc: $I$ phải lấy đối với đúng cái trục mà $\omega$ đang nói tới.
Định luật II, phát biểu đúng
$$\vec\tau_{\text{hợp}}=\frac{d\vec L}{dt}$$Dạng này tổng quát hơn $\tau=I\alpha$, vì $\tau=I\alpha$ ngầm giả thiết $I$ không đổi. Khi vật tự đổi hình dạng — người trượt băng thu tay, ngôi sao co sập, sợi xích bị cuốn vào — thì $I$ biến thiên và chỉ còn $\tau=dL/dt$ đứng vững. Lấy tích phân được xung lượng góc: $\int\vec\tau\,dt=\Delta\vec L$.
Một cầu nối rất hay dùng: $K=\dfrac{L^2}{2I}$. Giữ nguyên $L$ mà giảm $I$ thì động năng tăng — không phải bảo toàn.
Mômen động lượng của một bánh đà quanh trục cố định biến thiên theo $L(t)=(4t^3+5t)$ kg·m²/s, với $t$ tính bằng giây. Bánh có $I=2$ kg·m² không đổi. Tính momen lực hợp lực tại $t=2$ s, và tính xung lượng góc mà nó nhận trong khoảng từ $t=0$ đến $t=2$ s.
Momen lực là đạo hàm của $L$ theo thời gian, không phải giá trị của $L$:
$$\tau=\frac{dL}{dt}=12t^2+5\ \Longrightarrow\ \tau(2)=12(4)+5=53\ \text{N·m}$$Xung lượng góc là độ biến thiên của chính $L$:
$$\int_0^2\tau\,dt=\Delta L=L(2)-L(0)=(32+10)-0=42\ \text{kg·m²/s}$$Vì $I$ không đổi nên có thể lấy thêm $\omega(2)=L(2)/I=42/2=21$ rad/s và $\alpha(2)=\tau(2)/I=53/2=26{,}5$ rad/s².
Chú ý cái bẫy đơn vị: $53$ và $42$ là hai đại lượng khác hẳn nhau — một cái là momen lực (N·m), một cái là mômen động lượng (kg·m²/s). Lấy nhầm $L(2)=42$ làm momen lực là lỗi phổ biến nhất khi đề cho sẵn hàm $L(t)$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 6 — Energy and Momentum of Rotating Systems gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.