Mục lục bài họcĐang ở d01-b4
Acceleration Depending on Time, Velocity, or Position
When the constant-acceleration toolkit is useless
This section is the dividing line between Physics 1 and Physics C. Once $a$ depends on $t$, $v$ or $x$, the four kinematic equations no longer apply and you must separate variables.
Case 1: $a=a(t)$. Integrate directly, $v(t)=v_0+\int_0^t a\,dt'$.
Case 2: $a=a(v)$. Separate $t$ from $v$:
$$\frac{dv}{dt}=a(v)\;\Longrightarrow\;\int_{v_0}^{v}\frac{dv'}{a(v')}=\int_0^t dt'$$The signature example is linear drag, $m\dfrac{dv}{dt}=-bv$, whose solution is an exponential with time constant $\tau=m/b$:
$$v(t)=v_0e^{-t/\tau},\qquad x(t)=x_0+v_0\tau\left(1-e^{-t/\tau}\right)$$The object never formally stops, yet it travels only the finite distance $v_0\tau$.
Case 3: $a=a(x)$. Use $a=v\dfrac{dv}{dx}$, giving $\int v\,dv=\int a(x)\,dx$.
Terminal velocity is the shortcut worth spotting: for a falling body with $ma=mg-bv$ or $mg-bv^2$, set $a=0$. That gives $v_T=mg/b$ or $v_T=\sqrt{mg/b}$ without solving any differential equation.
Đây là ranh giới giữa Physics 1 và Physics C. Khi $a$ phụ thuộc $t$, $v$ hoặc $x$, bộ bốn công thức chết hẳn, và việc phải làm là tách biến.
Trường hợp 1, $a=a(t)$: tích phân thẳng, $v(t)=v_0+\int_0^t a\,dt'$.
Trường hợp 2, $a=a(v)$: tách $t$ khỏi $v$:
$$\frac{dv}{dt}=a(v)\;\Longrightarrow\;\int_{v_0}^{v}\frac{dv'}{a(v')}=\int_0^t dt'$$Ví dụ dấu ấn là lực cản tỉ lệ vận tốc, $m\dfrac{dv}{dt}=-bv$, nghiệm là hàm mũ với hằng số thời gian $\tau=m/b$:
$$v(t)=v_0e^{-t/\tau},\qquad x(t)=x_0+v_0\tau\left(1-e^{-t/\tau}\right)$$Vật không bao giờ dừng hẳn về mặt toán học, nhưng chỉ đi được quãng đường hữu hạn $v_0\tau$. Kết quả nghe nghịch lý này là câu hỏi khái niệm ưa thích của đề.
Trường hợp 3, $a=a(x)$: dùng $a=v\dfrac{dv}{dx}$, được $\int v\,dv=\int a(x)\,dx$.
Vận tốc giới hạn là lối tắt nên nhận ra ngay: vật rơi có $ma=mg-bv$ hoặc $mg-bv^2$ thì đặt $a=0$, ra $v_T=mg/b$ hoặc $v_T=\sqrt{mg/b}$ mà không cần giải phương trình vi phân nào. Đề hỏi vận tốc giới hạn là đề tặng điểm cho ai nhớ mẹo này.
Một xuồng khối lượng $m=400$ kg đang chạy $v_0=8{,}0$ m/s thì tắt máy. Nước cản theo $\vec F=-b\vec v$ với $b=100$ kg/s. Bỏ qua mọi lực khác theo phương ngang.
a) Lập và giải phương trình vi phân cho $v(t)$. b) Sau bao lâu tốc độ còn một nửa? c) Xuồng trôi được tối đa bao xa?
a) Định luật hai Newton theo phương chuyển động:
$$m\frac{dv}{dt}=-bv\;\Longrightarrow\;\frac{dv}{v}=-\frac{b}{m}\,dt$$Tách biến rồi tích phân hai vế từ $v_0$ tới $v$ và từ $0$ tới $t$:
$$\ln\frac{v}{v_0}=-\frac{b}{m}t\;\Longrightarrow\;v(t)=v_0e^{-t/\tau},\quad \tau=\frac{m}{b}=\frac{400}{100}=4{,}0\text{ s}$$Vậy $v(t)=8{,}0\,e^{-t/4}$ (m/s).
b) Đặt $v=v_0/2$: $e^{-t/\tau}=\tfrac12$, nên $t=\tau\ln 2=4{,}0\cdot0{,}693=2{,}77$ s.
c) Quãng đường tổng là tích phân của $v$ từ $0$ tới vô cùng:
$$s=\int_0^{\infty}v_0e^{-t/\tau}dt=v_0\tau=8{,}0\cdot4{,}0=32\text{ m}$$Xuồng không bao giờ dừng hẳn theo mô hình này, nhưng tổng quãng đường vẫn hữu hạn bằng $32$ m. Cách nhớ: quãng đường bằng đúng tốc độ đầu nhân hằng số thời gian, tức bằng quãng đường vật sẽ đi nếu giữ nguyên $v_0$ trong $\tau$ giây.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 1 — Kinematics gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.