Mục lục bài họcĐang ở d03-b1
Work by a Variable Force and the Dot Product
The general definition of work
In Physics C the formula $W=Fd\cos\theta$ is only a special case. The definition that always holds is an integral of a dot product along the path:
$$W=\int_{i}^{f}\vec{F}\cdot d\vec{r}$$For one-dimensional motion along $x$ this collapses to
$$W=\int_{x_i}^{x_f}F(x)\,dx$$which is the signed area under the graph of $F$ versus $x$ — area below the axis counts as negative work.
The dot product
$$\vec{F}\cdot d\vec{r}=F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz=|\vec{F}|\,|d\vec{r}|\cos\theta$$Work is a scalar. A force component perpendicular to the displacement contributes nothing, which is why the normal force and any centripetal force never do work.
Work-energy theorem, derived
Start from Newton's second law and change the variable of integration:
$$W_{\text{net}}=\int F\,dx=\int m\frac{dv}{dt}\,dx=\int m\,v\,dv=\tfrac12mv_f^2-\tfrac12mv_i^2=\Delta K$$The step $\dfrac{dv}{dt}dx=\dfrac{dv}{dt}\dfrac{dx}{dt}dt=v\,dv$ is the whole trick, and readers are expected to reproduce it.
Định nghĩa tổng quát. Ở Physics C, $W=Fd\cos\theta$ chỉ là trường hợp riêng khi lực không đổi và đường đi thẳng. Định nghĩa luôn đúng là tích phân của tích vô hướng dọc đường đi: $W=\int\vec{F}\cdot d\vec{r}$. Với chuyển động một chiều theo $x$ nó thu về $W=\int_{x_i}^{x_f}F(x)\,dx$ — chính là diện tích có dấu dưới đồ thị $F$ theo $x$. Phần nằm dưới trục hoành tính là công âm.
Tích vô hướng. $\vec{F}\cdot d\vec{r}=F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz$. Công là đại lượng vô hướng, không có hướng, và có thể âm. Thành phần lực vuông góc với độ dời không đóng góp gì — đó là lý do phản lực pháp tuyến và lực hướng tâm không bao giờ sinh công.
Định lý công - động năng phải biết dẫn. Xuất phát từ định luật II Newton rồi đổi biến tích phân: $\int F\,dx=\int m\dfrac{dv}{dt}\,dx$. Mấu chốt là $\dfrac{dv}{dt}\,dx=\dfrac{dv}{dt}\dfrac{dx}{dt}\,dt=v\,dv$, đưa tích phân về $\int m\,v\,dv=\tfrac12mv_f^2-\tfrac12mv_i^2=\Delta K$. Đề FRQ Physics C hay yêu cầu viết ra đúng chuỗi biến đổi này chứ không chấp nhận trích dẫn kết quả.
Một lực dọc trục $x$ có độ lớn $F(x)=(4x+2)$ N, với $x$ tính bằng mét. Tính công lực này sinh ra khi vật đi từ $x=0$ tới $x=3$ m, và so với kết quả sai khi lấy lực ở điểm cuối nhân quãng đường.
Lực thay đổi theo vị trí nên phải lấy tích phân:
$$W=\int_{0}^{3}(4x+2)\,dx=\Big[2x^2+2x\Big]_{0}^{3}=(18+6)-0=24\ \text{J}$$Nếu ai đó lấy lực tại điểm cuối, $F(3)=14$ N, rồi nhân với quãng đường $3$ m thì ra $42$ J — dư gần gấp đôi, vì phép nhân ấy đo diện tích hình chữ nhật cao $14$ N chứ không đo diện tích hình thang thật.
Thử lại bằng cách khác: đồ thị $F$ theo $x$ là đường thẳng, nên diện tích hình thang bằng $\dfrac{F(0)+F(3)}{2}\times3=\dfrac{2+14}{2}\times3=24$ J. Trùng khớp. Lưu ý cách này chỉ đúng vì $F$ tuyến tính; với $F(x)=3x^2$ nó sẽ sai.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 3 — Work, Energy, and Power gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.