Mục lục bài họcĐang ở d02-b4
Circular Motion and Velocity-Dependent Resistive Forces
Centripetal force is a role, not a new force
For uniform circular motion the acceleration points at the centre with magnitude $a_c=v^2/r=\omega^2r$. "Centripetal force" names the net radial force; it is always supplied by real forces already on your diagram — tension, gravity, normal force, friction. Never add an outward "centrifugal force" in an inertial frame.
$$\sum F_{\text{radial}}=\frac{mv^2}{r}$$Standard set-ups: a car on a flat curve ($f_s\ge mv^2/r$, so $v_{\max}=\sqrt{\mu_s gr}$), a frictionless banked curve ($v=\sqrt{gr\tan\theta}$), a conical pendulum ($T\cos\theta=mg$, $T\sin\theta=mv^2/r$), and a vertical circle, where at the top $T+mg=mv^2/r$ gives the minimum speed $v_{\min}=\sqrt{gr}$ for the string to stay taut.
Resistive forces: the calculus signature of Physics C
Air resistance depends on speed. Two models are examinable:
$$F_{\text{drag}}=-bv\quad\text{(low speed)},\qquad F_{\text{drag}}=-bv^2\quad\text{(high speed)}$$Newton's second law then becomes a separable differential equation, not an algebra problem. For a body falling from rest with linear drag,
$$m\frac{dv}{dt}=mg-bv\;\Longrightarrow\;\int_0^v\frac{dv'}{mg-bv'}=\int_0^t\frac{dt'}{m}\;\Longrightarrow\;v(t)=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-bt/m}\right)$$The terminal speed $v_T=mg/b$ is read off far faster by setting $dv/dt=0$ — do that first, then solve the equation. The time constant is $\tau=m/b$, and $v$ approaches $v_T$ asymptotically: it is never reached in finite time.
Lực hướng tâm là một vai diễn, không phải một loại lực mới. Chuyển động tròn đều có gia tốc hướng vào tâm, độ lớn $a_c=v^2/r=\omega^2r$. Cái gọi là "lực hướng tâm" chính là hợp lực theo phương bán kính, do các lực có thật trên sơ đồ cung cấp: lực căng, trọng lực, phản lực, ma sát. Trong hệ quy chiếu quán tính, tuyệt đối không vẽ thêm "lực li tâm" hướng ra ngoài.
$$\sum F_{\text{bán kính}}=\frac{mv^2}{r}$$Bốn tình huống chuẩn: xe trên đường vòng phẳng ($v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr}$), đường vòng nghiêng không ma sát ($v=\sqrt{gr\tan\theta}$), con lắc nón ($T\cos\theta=mg$ và $T\sin\theta=mv^2/r$), và vòng tròn thẳng đứng — ở điểm cao nhất $T+mg=mv^2/r$, cho tốc độ tối thiểu $v_{\min}=\sqrt{gr}$ để dây còn căng.
Lực cản phụ thuộc vận tốc — dấu ấn riêng của Physics C. Hai mô hình được hỏi: $F=-bv$ (tốc độ thấp) và $F=-bv^2$ (tốc độ cao). Định luật II khi đó là một phương trình vi phân tách biến, không phải bài đại số. Vật rơi từ nghỉ với lực cản tuyến tính:
$$m\frac{dv}{dt}=mg-bv\;\Longrightarrow\;\int_0^v\frac{dv'}{mg-bv'}=\int_0^t\frac{dt'}{m}\;\Longrightarrow\;v(t)=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-bt/m}\right)$$Vận tốc giới hạn $v_T=mg/b$ lấy được ngay bằng cách đặt $dv/dt=0$ — làm bước này trước, rồi mới giải phương trình. Hằng số thời gian $\tau=m/b$; $v$ chỉ tiệm cận $v_T$, không bao giờ đạt đúng $v_T$ ở thời điểm hữu hạn.
Một xuồng khối lượng $m$ đang chạy với vận tốc $v_0$ thì tắt máy. Lực cản của nước có dạng $F=-bv^2$, bỏ qua mọi lực ngang khác. Tìm $v(t)$ và quãng đường đi được theo thời gian.
Định luật II: $m\dfrac{dv}{dt}=-bv^2$. Tách biến:
$$\int_{v_0}^{v}\frac{dv'}{v'^2}=-\frac{b}{m}\int_0^t dt'\;\Longrightarrow\;-\frac1v+\frac1{v_0}=-\frac{b}{m}t$$$$\frac1v=\frac1{v_0}+\frac{b}{m}t\;\Longrightarrow\;v(t)=\frac{v_0}{1+\dfrac{bv_0}{m}t}$$Quãng đường lấy tích phân tiếp:
$$x(t)=\int_0^t v\,dt'=\frac{m}{b}\ln\left(1+\frac{bv_0}{m}t\right)$$Hai nhận xét được hỏi rất thường: vận tốc giảm theo luật nghịch đảo bậc nhất chứ không phải hàm mũ (hàm mũ là của lực cản $-bv$); và quãng đường tăng theo $\ln t$ nên không bị chặn — xuồng đi mãi được xa tuỳ ý nếu chờ đủ lâu, dù chậm dần. Với lực cản $-bv$ thì ngược lại, quãng đường tổng cộng bị chặn ở $mv_0/b$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 2 — Force and Translational Dynamics gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.