Mục lục bài họcĐang ở d03-b2
Conservative Forces and Potential Energy
What makes a force conservative
A force is conservative when the work it does between two points does not depend on the path, equivalently when the work around any closed loop is zero:
$$\oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0$$Gravity and the ideal spring force pass this test. Kinetic friction fails it badly: a longer path always dissipates more, and a round trip dissipates twice.
Potential energy is defined only for conservative forces
$$\Delta U=U_f-U_i=-\int_{i}^{f}\vec{F}\cdot d\vec{r}\qquad\Longleftrightarrow\qquad F_x=-\frac{dU}{dx}$$The two statements are inverses: integrate the force to get $U$, differentiate $U$ to get the force back. Two standard results follow immediately:
- from $F=-mg$ (taking $y$ upward) we get $U_g=mgy$;
- from $F=-kx$ we get $U_s=\tfrac12kx^2$.
The additive constant is free: only differences in $U$ carry physical meaning, so the reference point may be chosen anywhere as long as it is used consistently.
Thế nào là lực bảo toàn. Một lực là bảo toàn khi công của nó giữa hai điểm không phụ thuộc đường đi, tương đương với việc công trên mọi đường khép kín bằng không: $\oint\vec{F}\cdot d\vec{r}=0$. Trọng lực và lực đàn hồi lý tưởng thoả điều kiện này. Ma sát động thì trượt hoàn toàn: đường càng dài càng tiêu tán nhiều, đi một vòng về chỗ cũ thì tiêu tán gấp đôi chứ không triệt tiêu.
Thế năng chỉ định nghĩa được cho lực bảo toàn. Quan hệ hai chiều: $\Delta U=-\int\vec{F}\cdot d\vec{r}$ và ngược lại $F_x=-\dfrac{dU}{dx}$. Tích phân lực ra thế năng, đạo hàm thế năng ra lại lực. Hai kết quả quen thuộc rơi ra ngay: từ $F=-mg$ (chọn $y$ hướng lên) được $U_g=mgy$; từ $F=-kx$ được $U_s=\tfrac12kx^2$.
Hằng số cộng thêm là tuỳ chọn. Chỉ hiệu thế năng mới mang nghĩa vật lý, nên mốc $U=0$ đặt ở đâu cũng được, miễn giữ nguyên suốt bài. Đây là lý do người ta hay chọn $U\to0$ khi $x\to\infty$ cho lực hấp dẫn: chọn thế làm biểu thức gọn nhất, không phải vì có gì đặc biệt ở vô cùng.
Ma sát không có hàm thế năng. Không thể viết $U_{\text{ma sát}}$ được, và cũng không nên cố — với ma sát ta viết thẳng phần năng lượng tiêu tán $\int f\,dx$.
Một hạt chịu lực dọc trục $x$ là $F(x)=-\dfrac{b}{x^{3}}$ với $b>0$. Tìm hàm thế năng $U(x)$ với mốc $U\to0$ khi $x\to\infty$, rồi kiểm chứng bằng cách lấy đạo hàm ngược lại.
Theo định nghĩa, với mốc ở vô cùng:
$$U(x)=-\int_{\infty}^{x}F(x')\,dx'=-\int_{\infty}^{x}\left(-\frac{b}{x'^{3}}\right)dx'=b\int_{\infty}^{x}x'^{-3}\,dx'$$$$=b\left[\frac{x'^{-2}}{-2}\right]_{\infty}^{x}=-\frac{b}{2x^{2}}+0=-\frac{b}{2x^{2}}$$Thử lại bằng cách khác: lấy đạo hàm hàm vừa tìm được. $\dfrac{dU}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{b}{2}x^{-2}\right)=b\,x^{-3}$, nên $F=-\dfrac{dU}{dx}=-\dfrac{b}{x^{3}}$, đúng bằng lực đề cho.
Dấu âm của $U$ nói lên điều có ý nghĩa: đây là lực hút, hạt bị giữ trong một giếng thế. Muốn đưa hạt ra vô cùng phải cấp thêm đúng $\dfrac{b}{2x^{2}}$ joule.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 3 — Work, Energy, and Power gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.