Mục lục bài họcĐang ở d07-b3
The Physical Pendulum and Rotational Oscillators
Any rigid body swinging about a pivot
A physical pendulum is a rigid body of mass $M$ free to rotate about a pivot $P$ that is not its center of mass. Let $d$ be the distance from $P$ to the center of mass. The weight acts at the center of mass, so the restoring torque about $P$ is
$$\tau=-Mgd\sin\theta$$Newton's second law for rotation, $\tau=I\alpha$, with $I$ the rotational inertia about the pivot, gives
$$I\frac{d^2\theta}{dt^2}=-Mgd\sin\theta\ \xrightarrow{\ \sin\theta\approx\theta\ }\ \frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{Mgd}{I}\theta$$$$\omega=\sqrt{\frac{Mgd}{I}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgd}}$$The inertia about the pivot comes from the parallel-axis theorem, $I=I_{cm}+Md^{2}$. Comparing with $T=2\pi\sqrt{L/g}$ shows the physical pendulum swings like a simple pendulum of equivalent length $L_{eq}=I/(Md)$.
The torsional oscillator
A disk hung from a wire that resists twisting obeys $\tau=-\kappa\theta$, where $\kappa$ is the torsion constant. The same algebra gives
$$\omega=\sqrt{\frac{\kappa}{I}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}$$Note that here no small-angle approximation is needed: the restoring torque is already linear in $\theta$.
Con lắc vật lý là một vật rắn bất kì quay quanh trục $P$ không đi qua khối tâm. Gọi $d$ là khoảng cách từ trục tới khối tâm. Trọng lực đặt ở khối tâm nên momen kéo về quanh $P$ là $\tau=-Mgd\sin\theta$. Áp dụng $\tau=I\alpha$ với $I$ đo quanh trục quay:
$$I\frac{d^2\theta}{dt^2}=-Mgd\sin\theta$$Lại dùng xấp xỉ góc nhỏ $\sin\theta\approx\theta$, ta về đúng khuôn quen thuộc và đọc được:
$$\omega=\sqrt{\frac{Mgd}{I}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgd}}$$Hai chỗ phải cẩn thận. Thứ nhất, $I$ là momen quán tính quanh trục treo, lấy từ định lý trục song song $I=I_{cm}+Md^{2}$. Thứ hai, $d$ là khoảng cách trục tới khối tâm, không phải chiều dài vật.
So với $T=2\pi\sqrt{L/g}$, con lắc vật lý lắc y như một con lắc đơn có chiều dài tương đương $L_{td}=I/(Md)$. Con số này luôn lớn hơn $d$, vì $I=I_{cm}+Md^2>Md^2$.
Con lắc xoắn: dây treo chống xoắn cho $\tau=-\kappa\theta$, nên $T=2\pi\sqrt{I/\kappa}$. Ở đây momen kéo về vốn đã tuyến tính theo $\theta$, không cần xấp xỉ góc nhỏ — đó là điểm khác biệt đáng nhớ so với con lắc đơn.
Một thanh đồng chất khối lượng $M$, dài $L$, treo ở một đầu và lắc trong mặt phẳng đứng với biên độ nhỏ. Tính chu kì, và tìm chiều dài của con lắc đơn có cùng chu kì. Cho $I_{cm}=\dfrac{1}{12}ML^{2}$.
Bước 1 — xác định $d$. Khối tâm thanh đồng chất ở giữa, nên $d=L/2$.
Bước 2 — $I$ quanh trục treo, bằng định lý trục song song:
$$I=\frac{1}{12}ML^{2}+M\left(\frac{L}{2}\right)^{2}=\frac{1}{12}ML^{2}+\frac{1}{4}ML^{2}=\frac{1}{3}ML^{2}$$Bước 3 — ghép vào công thức:
$$\omega^{2}=\frac{Mgd}{I}=\frac{Mg(L/2)}{\frac13ML^{2}}=\frac{3g}{2L}\ \Longrightarrow\ T=2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}$$Bước 4 — chiều dài tương đương:
$$L_{td}=\frac{I}{Md}=\frac{\frac13ML^{2}}{M(L/2)}=\frac{2L}{3}$$Thanh dài $L$ lắc giống hệt con lắc đơn dài $2L/3$, tức nhanh hơn con lắc đơn cùng chiều dài $L$ theo tỉ số $\sqrt{2/3}\approx0{,}82$. Lý do vật lý: khối lượng thanh phân bố trải dài, phần lớn nằm gần trục hơn so với quả nặng tập trung ở đầu dây.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Oscillations gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.