Mục lục bài họcĐang ở d04-b4
Center of Mass and Its Motion
From a sum to an integral
$$x_{\text{cm}}=\frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}\qquad\longrightarrow\qquad x_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int x\,dm,\qquad M=\int dm$$For a one-dimensional object with linear mass density $\lambda(x)$, write $dm=\lambda(x)\,dx$ and the pair of integrals becomes
$$M=\int_{a}^{b}\lambda(x)\,dx,\qquad x_{\text{cm}}=\frac{\displaystyle\int_{a}^{b}x\,\lambda(x)\,dx}{\displaystyle\int_{a}^{b}\lambda(x)\,dx}$$Both the numerator and the denominator are integrals. Substituting the total mass without computing it, or using the geometric midpoint for a non-uniform object, is the single most common error here.
Why the centre of mass matters dynamically
$$\vec P_{\text{sys}}=M\vec v_{\text{cm}},\qquad \vec F_{\text{ext,net}}=M\vec a_{\text{cm}}$$The centre of mass moves exactly as a single particle of mass $M$ would move under the net external force alone. Internal explosions, collisions and people walking around inside a system change nothing about it. If $\vec F_{\text{ext,net}}=0$ and the system starts at rest, the centre of mass stays put — which is how you find how far a boat drifts when a passenger walks along it.
Với hệ rời rạc, khối tâm là trung bình có trọng số theo khối lượng: $x_{\text{cm}}=\frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$. Với vật liên tục, tổng biến thành tích phân: $x_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int x\,dm$ với $M=\int dm$.
Với một thanh có mật độ khối lượng dài $\lambda(x)$, đặt $dm=\lambda(x)\,dx$ và ta có hai tích phân: $M=\int_{a}^{b}\lambda(x)\,dx$ ở mẫu, $\int_{a}^{b}x\,\lambda(x)\,dx$ ở tử. Quên rằng mẫu cũng là một tích phân — thí dụ lấy $M=\lambda_0 L$ cho một thanh không đều — là lỗi phổ biến nhất của phần này.
Khối tâm không chỉ là một điểm hình học. Nó điều khiển động lực học của cả hệ: $\vec P_{\text{hệ}}=M\vec v_{\text{cm}}$ và $\vec F_{\text{ngoại}}=M\vec a_{\text{cm}}$. Nghĩa là khối tâm chuyển động y hệt một chất điểm khối lượng $M$ chịu riêng ngoại lực; mọi vụ nổ, va chạm hay người đi lại bên trong hệ đều không đụng được tới nó.
Hệ quả dùng liên tục: nếu ngoại lực bằng không và hệ ban đầu đứng yên thì khối tâm đứng yên mãi. Đây là chìa khoá của lớp bài "người đi trên thuyền", "pháo hoa nổ giữa không trung" và "hai vật bị lò xo nén đẩy ra".
Một thanh mảnh nằm dọc trục $x$ từ $x=0$ đến $x=L$, mật độ khối lượng dài $\lambda(x)=\lambda_0\left(2-\dfrac{x}{L}\right)$. Tính khối lượng $M$ và vị trí khối tâm $x_{\text{cm}}$ theo $\lambda_0$ và $L$.
Mẫu số - khối lượng:
$$M=\int_{0}^{L}\lambda_0\left(2-\frac{x}{L}\right)dx=\lambda_0\left[2x-\frac{x^{2}}{2L}\right]_{0}^{L}=\lambda_0\left(2L-\frac{L}{2}\right)=\frac{3\lambda_0 L}{2}$$Tử số:
$$\int_{0}^{L}x\,\lambda_0\left(2-\frac{x}{L}\right)dx=\lambda_0\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3L}\right]_{0}^{L}=\lambda_0\left(L^{2}-\frac{L^{2}}{3}\right)=\frac{2\lambda_0 L^{2}}{3}$$Chia:
$$x_{\text{cm}}=\frac{2\lambda_0 L^{2}/3}{3\lambda_0 L/2}=\frac{2L^{2}}{3}\cdot\frac{2}{3L}=\frac{4L}{9}\approx 0{,}444L$$Kết quả nhỏ hơn $L/2$, đúng như trực giác: thanh đặc ở đầu trái nên khối tâm lệch về trái. Phép kiểm dấu này nên làm mỗi lần, vì nó bắt được ngay lỗi đảo cận hoặc lỗi dấu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 4 — Linear Momentum gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.