Mục lục bài họcĐang ở d06-b2
Work, Power, and the Rotational Work–Energy Theorem
Work done by a torque
A force $\vec F$ applied at radius $r$ moves its point of application through arc $ds=r\,d\theta$, so the work is $dW=F_\perp r\,d\theta=\tau\,d\theta$. Integrating,
$$W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau\,d\theta$$Every structural feature of linear work carries over: $W=\tau\Delta\theta$ only when $\tau$ is constant, and in general $W$ is the area under the $\tau$ versus $\theta$ graph — signed area, so a torque opposing the rotation contributes negative work.
Rotational power
$$P=\frac{dW}{dt}=\tau\frac{d\theta}{dt}=\tau\omega$$This is the rotational twin of $P=Fv$. It is why an engine quoting a peak power figure cannot deliver large torque and large angular speed at the same time, and why a gearbox exists.
Work–energy theorem
$$W_{\text{net}}=\Delta K=\tfrac12 I\omega_2^2-\tfrac12 I\omega_1^2$$Combined with $\tau=I\alpha$ this gives the rotational analogue of $v^2=v_0^2+2a\Delta x$, namely $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta\theta$, valid only for constant $\alpha$. When $\tau$ depends on $\theta$, integrate; when it depends on $t$, go through $\tau=dL/dt$ instead.
Công của momen lực
Lực $\vec F$ đặt tại bán kính $r$ có điểm đặt đi được cung $ds=r\,d\theta$, nên $dW=F_\perp r\,d\theta=\tau\,d\theta$. Lấy tích phân:
$$W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau\,d\theta$$Mọi nét cấu trúc của công tịnh tiến đều chuyển sang: $W=\tau\Delta\theta$ chỉ đúng khi $\tau$ không đổi, còn nói chung $W$ là diện tích dưới đồ thị $\tau$ theo $\theta$ — diện tích có dấu, nên momen cản sinh công âm.
Công suất quay
$$P=\frac{dW}{dt}=\tau\frac{d\theta}{dt}=\tau\omega$$Đây là bản song sinh của $P=Fv$. Nó giải thích vì sao một động cơ có công suất cực đại cố định không thể vừa cho momen lớn vừa cho tốc độ góc lớn, và vì sao xe cần hộp số.
Định lý công–động năng
$$W_{\text{hợp}}=\Delta K=\tfrac12 I\omega_2^2-\tfrac12 I\omega_1^2$$Ghép với $\tau=I\alpha$ ta được bản quay của $v^2=v_0^2+2a\Delta x$, tức $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta\theta$ — chỉ dùng được khi $\alpha$ không đổi. Khi $\tau$ phụ thuộc $\theta$ thì lấy tích phân theo $\theta$; khi $\tau$ phụ thuộc $t$ thì đi đường $\tau=dL/dt$.
Một bánh đà có $I=2$ kg·m² đang đứng yên. Người ta tác dụng momen lực $\tau(\theta)=(12-2\theta)$ N·m, với $\theta$ tính bằng radian, cho tới khi bánh quay được $\theta=6$ rad. Tính công đã thực hiện và tốc độ góc lúc đó. Bỏ qua ma sát.
Momen thay đổi theo góc nên phải lấy tích phân, không được nhân:
$$W=\int_0^{6}(12-2\theta)\,d\theta=\Big[12\theta-\theta^2\Big]_0^{6}=72-36=36\ \text{J}$$Đúng bằng diện tích hình thang dưới đồ thị: momen đi từ $12$ N·m xuống $0$ N·m trên quãng $6$ rad, tức $\tfrac12(12)(6)=36$ J.
Áp dụng định lý công–động năng với $\omega_0=0$:
$$36=\tfrac12(2)\omega^2\ \Longrightarrow\ \omega^2=36\ \Longrightarrow\ \omega=6\ \text{rad/s}$$Công suất tức thời tại $\theta=6$ rad bằng $P=\tau\omega=0\times6=0$ W: đúng lúc bánh đà quay nhanh nhất thì momen đã tắt, nên máy không còn truyền năng lượng nữa. Nếu ai đó nhân thẳng $12\times6=72$ J thì đã lấy hình chữ nhật cao nhất thay cho hình thang, và ra $\omega=\sqrt{72}\approx8{,}5$ rad/s — cao hơn thực tế $41\%$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 6 — Energy and Momentum of Rotating Systems gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.