Mục lục bài họcĐang ở d03-b3
Reading Potential Energy Graphs
The force is minus the slope
$$F_x=-\frac{dU}{dx}$$Read a $U$ versus $x$ graph as a landscape and the particle as a ball rolling on it. Where the curve rises to the right the slope is positive, so the force points in the $-x$ direction: always downhill.
Equilibrium and stability
Equilibrium means $\dfrac{dU}{dx}=0$. The second derivative sorts the types:
- $\dfrac{d^2U}{dx^2}>0$ — a minimum, stable equilibrium: a small push produces a restoring force back toward the point;
- $\dfrac{d^2U}{dx^2}<0$ — a maximum, unstable equilibrium: a small push produces a force pushing further away;
- $U$ constant over an interval — neutral equilibrium.
Turning points and wells
Since $K=E-U$ and $K$ can never be negative, the particle is confined to regions where $U(x)\le E$. The boundaries, where $U(x)=E$, are the turning points: there $K=0$, the speed is zero, and the motion reverses. A region bounded by turning points on both sides is a potential well, and the particle is trapped in it unless extra energy is supplied.
Speed is largest where $U$ is smallest inside the accessible region, not where the slope is steepest.
Lực là độ dốc đổi dấu: $F_x=-\dfrac{dU}{dx}$. Hãy đọc đồ thị $U$ theo $x$ như một địa hình, còn hạt như viên bi lăn trên địa hình đó. Chỗ nào đồ thị đi lên về bên phải thì độ dốc dương, lực hướng theo chiều $-x$ — nghĩa là lực luôn đẩy hạt xuống dốc. Đây là phần Physics C khai thác sâu hơn hẳn, vì nó đòi đạo hàm chứ không chỉ đọc số.
Cân bằng và tính bền. Cân bằng nghĩa là $\dfrac{dU}{dx}=0$. Đạo hàm cấp hai phân loại: $\dfrac{d^2U}{dx^2}>0$ là cực tiểu, cân bằng bền — đẩy nhẹ thì sinh lực kéo về; $\dfrac{d^2U}{dx^2}<0$ là cực đại, cân bằng không bền — đẩy nhẹ thì sinh lực đẩy đi xa thêm; còn $U$ phẳng trên cả một đoạn là cân bằng phiếm định.
Điểm quay đầu và giếng thế. Vì $K=E-U$ và động năng không bao giờ âm, hạt chỉ tồn tại được ở vùng $U(x)\le E$. Ranh giới, nơi $U(x)=E$, là điểm quay đầu: ở đó $K=0$, tốc độ bằng không, hạt đảo chiều. Vùng bị chặn hai đầu bởi hai điểm quay đầu là một giếng thế, và hạt bị nhốt trong đó cho tới khi được cấp thêm năng lượng vượt rào.
Tốc độ lớn nhất ở nơi $U$ nhỏ nhất trong vùng đi tới được, không phải ở nơi đồ thị dốc nhất. Dốc nhất là nơi lực mạnh nhất, hai chuyện khác nhau.
Một hạt chuyển động dọc trục $x$ ($x>0$) với thế năng $U(x)=\dfrac{a}{x^{2}}-\dfrac{b}{x}$, trong đó $a$ và $b$ là hằng số dương. Tìm vị trí cân bằng, xác định nó bền hay không bền, và tìm độ sâu của giếng thế.
Lực: $F=-\dfrac{dU}{dx}=-\left(-\dfrac{2a}{x^{3}}+\dfrac{b}{x^{2}}\right)=\dfrac{2a}{x^{3}}-\dfrac{b}{x^{2}}$.
Cân bằng khi $F=0$: $\dfrac{2a}{x^{3}}=\dfrac{b}{x^{2}}\ \Longrightarrow\ x_0=\dfrac{2a}{b}$.
Tính bền xét bằng đạo hàm cấp hai: $\dfrac{d^{2}U}{dx^{2}}=\dfrac{6a}{x^{4}}-\dfrac{2b}{x^{3}}$. Thay $x_0=\dfrac{2a}{b}$:
$$\frac{d^{2}U}{dx^{2}}\Big|_{x_0}=\frac{6a}{x_0^{4}}-\frac{2b}{x_0^{3}}=\frac{1}{x_0^{3}}\left(\frac{6a}{x_0}-2b\right)=\frac{1}{x_0^{3}}\left(3b-2b\right)=\frac{b}{x_0^{3}}>0$$Dương, nên đây là cực tiểu: cân bằng bền.
Độ sâu giếng: $U(x_0)=\dfrac{a}{x_0^{2}}-\dfrac{b}{x_0}=\dfrac{ab^{2}}{4a^{2}}-\dfrac{b^{2}}{2a}=\dfrac{b^{2}}{4a}-\dfrac{2b^{2}}{4a}=-\dfrac{b^{2}}{4a}$.
Với mốc $U\to0$ khi $x\to\infty$, hạt cần được cấp ít nhất $\dfrac{b^{2}}{4a}$ joule mới thoát ra vô cùng. Đây chính là khuôn của mọi bài thế năng liên phân tử.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 3 — Work, Energy, and Power gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.