Mục lục bài họcĐang ở d05-b4
Newton's Second Law for Rotation and Rolling Without Slipping
The rotational second law
$$\sum\vec\tau_{\text{ext}}=I\vec\alpha$$It is valid about a fixed axis, and also about the centre of mass even when the centre of mass accelerates — that second fact is what makes rolling problems solvable.
Rolling without slipping
The constraint is kinematic, not dynamic:
$$v_{\text{cm}}=\omega R,\qquad a_{\text{cm}}=\alpha R$$The contact point is instantaneously at rest relative to the surface. Consequences worth stating on the exam: the friction there is static, its magnitude is whatever the constraint requires (never assume $f=\mu_s N$ unless the object is on the verge of slipping), and static friction does no work, so mechanical energy is conserved while rolling.
The standard result
For a body with $I_{\text{cm}}=\beta MR^{2}$ released on an incline of angle $\theta$:
$$a=\frac{g\sin\theta}{1+\beta},\qquad f=\frac{\beta Mg\sin\theta}{1+\beta},\qquad \mu_s\ge\frac{\beta\tan\theta}{1+\beta}$$Neither $M$ nor $R$ appears in $a$: only the shape factor $\beta$ decides the race down the ramp.
Bản dịch của định luật II Newton sang thế giới quay: $\sum\vec\tau_{\text{ngoài}}=I\vec\alpha$. Nó dùng được quanh trục cố định, và — điều rất hay bị bỏ sót — dùng được cả quanh khối tâm ngay khi khối tâm đang gia tốc. Chính điều đó cho phép tách bài lăn thành hai phương trình: một cho tịnh tiến của khối tâm, một cho quay quanh khối tâm.
Lăn không trượt là một ràng buộc động học: $v_{cm}=\omega R$ và $a_{cm}=\alpha R$. Nó nói rằng điểm tiếp xúc đứng yên tức thời so với mặt sàn. Ba hệ quả nên viết ra khi làm tự luận:
- ma sát ở đó là ma sát nghỉ, độ lớn do ràng buộc quyết định — không được viết $f=\mu_sN$ trừ khi vật sắp trượt;
- ma sát nghỉ không sinh công (điểm đặt có vận tốc bằng $0$), nên cơ năng bảo toàn khi lăn không trượt;
- nhưng ma sát nghỉ vẫn sinh momen lực — nó chính là thứ làm vật quay nhanh dần.
Với vật có $I_{cm}=\beta MR^2$ thả trên dốc nghiêng $\theta$: $a=\dfrac{g\sin\theta}{1+\beta}$. Trong biểu thức này không có $M$ và không có $R$ — chỉ hình dạng qua $\beta$ mới quyết định vật nào xuống trước. Cầu đặc ($\beta=\frac25$) luôn thắng đĩa ($\frac12$), đĩa luôn thắng vành ($1$), bất kể to nhỏ nặng nhẹ.
Vật $m=4{,}0$ kg treo bằng dây vắt qua ròng rọc là đĩa đặc $M=2{,}0$ kg, bán kính $R=0{,}15$ m; đầu dây kia nối vật $m_2=2{,}0$ kg trượt không ma sát trên mặt bàn ngang. Lấy $g=10$ m/s$^2$. Tính gia tốc của hệ.
Ròng rọc có khối lượng nên hai nhánh dây căng khác nhau: phải có $T_1\ne T_2$ mới sinh được momen quay ròng rọc.
Ba phương trình:
$$mg-T_1=ma,\qquad T_2=m_2a,\qquad \left(T_1-T_2\right)R=I\alpha=\tfrac12MR^2\cdot\frac{a}{R}$$Phương trình cuối rút gọn thành $T_1-T_2=\tfrac12Ma$. Cộng cả ba:
$$mg=\left(m+m_2+\tfrac12M\right)a$$$$a=\frac{40}{4{,}0+2{,}0+1{,}0}=\frac{40}{7{,}0}=5{,}7\ \text{m/s}^2$$Ròng rọc đóng góp vào “khối lượng hiệu dụng” đúng bằng $I/R^2=\frac12M=1{,}0$ kg, không phải bằng $M$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 5 — Torque and Rotational Dynamics gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.