Mục lục bài họcĐang ở d06-b1
Rotational Kinetic Energy and Rolling Without Slipping
Kinetic energy of a rotating rigid body
Cut the body into elements $dm$ at distance $r_\perp$ from the axis. Each moves with speed $r_\perp\omega$, so
$$K_{\text{rot}}=\int\tfrac12 (dm)(r_\perp\omega)^2=\tfrac12\omega^2\int r_\perp^2\,dm=\tfrac12 I\omega^2$$The integral $I=\int r_\perp^2\,dm$ is the rotational inertia — the same object it was in Unit 5, arrived at here from energy instead of torque.
König's theorem: translation plus rotation
$$K_{\text{total}}=\tfrac12 Mv_{cm}^2+\tfrac12 I_{cm}\omega^2$$The first term treats the whole mass as a point at the centre of mass; the second is the spin about the centre of mass. The split is exact for any rigid body, not an approximation.
Rolling without slipping
The constraint is $v_{cm}=\omega R$ (and $a_{cm}=\alpha R$). Writing $I_{cm}=\beta MR^2$, with $\beta=\tfrac25$ for a solid sphere, $\tfrac12$ for a solid cylinder, $1$ for a thin hoop,
$$K=\tfrac12 Mv^2(1+\beta),\qquad v=\sqrt{\frac{2gh}{1+\beta}},\qquad a=\frac{g\sin\theta}{1+\beta}$$Notice that $M$ and $R$ both cancel: the finishing order of a rolling race depends only on the shape factor $\beta$, never on how heavy or how large the object is.
Động năng của vật rắn quay
Chia vật thành các phần tử $dm$ cách trục một khoảng $r_\perp$. Mỗi phần tử có tốc độ $r_\perp\omega$, nên
$$K_{\text{quay}}=\int\tfrac12 (dm)(r_\perp\omega)^2=\tfrac12\omega^2\int r_\perp^2\,dm=\tfrac12 I\omega^2$$Tích phân $I=\int r_\perp^2\,dm$ chính là momen quán tính đã gặp ở Unit 5 — lần này đi tới từ đường năng lượng chứ không từ momen lực.
Định lý König: tịnh tiến cộng quay
$$K_{\text{toàn phần}}=\tfrac12 Mv_{cm}^2+\tfrac12 I_{cm}\omega^2$$Số hạng đầu coi cả khối lượng như một chất điểm đặt tại khối tâm; số hạng sau là phần quay quanh khối tâm. Cách tách này chính xác tuyệt đối với mọi vật rắn, không phải phép gần đúng.
Lăn không trượt
Ràng buộc là $v_{cm}=\omega R$ (và $a_{cm}=\alpha R$). Viết $I_{cm}=\beta MR^2$, với $\beta=\tfrac25$ cho cầu đặc, $\tfrac12$ cho trụ đặc, $1$ cho vành mỏng:
$$K=\tfrac12 Mv^2(1+\beta),\qquad v=\sqrt{\frac{2gh}{1+\beta}},\qquad a=\frac{g\sin\theta}{1+\beta}$$Cả $M$ lẫn $R$ đều triệt tiêu: thứ tự về đích của một cuộc đua lăn chỉ phụ thuộc hệ số hình dạng $\beta$, không phụ thuộc vật nặng bao nhiêu hay to bao nhiêu.
Ba vật cùng khối lượng, cùng bán kính — vành mỏng ($\beta=1$), trụ đặc ($\beta=\tfrac12$), cầu đặc ($\beta=\tfrac25$) — lăn không trượt từ nghỉ xuống hết độ cao $h=3{,}5$ m. Lấy $g=10$ m/s². Tính tốc độ khối tâm ở chân dốc của từng vật và cho biết thứ tự về đích.
Bảo toàn cơ năng, với $K=\tfrac12Mv^2(1+\beta)$:
$$Mgh=\tfrac12Mv^2(1+\beta)\ \Longrightarrow\ v=\sqrt{\frac{2gh}{1+\beta}}$$Ở đây $2gh=2(10)(3{,}5)=70$ m²/s².
- Vành mỏng: $v=\sqrt{70/2}=\sqrt{35}\approx5{,}9$ m/s.
- Trụ đặc: $v=\sqrt{70/1{,}5}\approx\sqrt{46{,}7}\approx6{,}8$ m/s.
- Cầu đặc: $v=\sqrt{70/1{,}4}=\sqrt{50}\approx7{,}1$ m/s.
Thứ tự về đích: cầu đặc, trụ đặc, vành mỏng. Lý do vật lý: $\beta$ đo phần thế năng buộc phải chuyển thành động năng quay. Vành mỏng dồn hết khối lượng ra mép nên phải trả $\tfrac12$ tổng động năng cho phần quay, chỉ còn nửa kia để tiến về phía trước.
Đáng chú ý: khối lượng và bán kính không xuất hiện trong kết quả. Một quả cầu thép đặc và một viên bi thuỷ tinh về đích cùng lúc.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 6 — Energy and Momentum of Rotating Systems gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.