Mục lục bài họcĐang ở d08-b2
Area Between Curves
Top minus bottom
$$A=\int_a^b\left[f(x)-g(x)\right]dx\quad\text{where } f\ge g \text{ on } [a,b]$$The limits $a$ and $b$ are normally the $x$-coordinates of the intersection points, found by solving $f(x)=g(x)$ — not numbers handed to you.
If the curves cross inside the region, split the integral at the crossing and use the correct "top" on each piece.
When a region is bounded more simply by horizontal slices, integrate with respect to $y$ instead: $A=\int_c^d\left[\text{right}(y)-\text{left}(y)\right]dy$. Choosing the easier variable often turns two integrals into one.
Công thức chỉ có một: trên trừ dưới, lấy tích phân từ giao điểm này tới giao điểm kia.
Hai cận $a,b$ hầu như luôn là hoành độ giao điểm, phải tự giải $f(x)=g(x)$ để tìm — đề rất ít khi cho sẵn.
Nếu hai đường cắt nhau ở giữa vùng, phải tách tích phân tại điểm cắt và đổi vai trên/dưới cho đúng từng đoạn. Bỏ qua bước này là phần diện tích bên kia bị trừ đi thay vì cộng vào.
Khi vùng dễ mô tả bằng lát ngang hơn, hãy tích phân theo $y$: $A=\int_c^d\left[\text{phải}(y)-\text{trái}(y)\right]dy$. Chọn đúng biến thường biến hai tích phân thành một.
Tính diện tích vùng giới hạn bởi $y=x^2$ và $y=x+2$.
Tìm giao điểm: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow(x-2)(x+1)=0$ ⇒ $x=-1$ và $x=2$.
Xác định đường trên: thử $x=0$ — đường thẳng cho $2$, parabol cho $0$. Vậy $x+2$ nằm trên.
$$A=\int_{-1}^{2}\left[(x+2)-x^2\right]dx=\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$$Tại $x=2$: $2+4-\frac83=\frac{10}{3}$. Tại $x=-1$: $\frac12-2+\frac13=-\frac76$.
$A=\frac{10}{3}+\frac76=\frac{20+7}{6}=\frac{27}{6}=\frac92$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 8 — Applications of Integration gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.