Mục lục bài họcĐang ở d07-b3
Exponential Models in Context
Reading the sentence into the equation
Translation table for AP wording:
- "rate proportional to the amount" $\Rightarrow \frac{dy}{dt}=ky$
- "rate proportional to the difference between $y$ and $M$" $\Rightarrow \frac{dy}{dt}=k(M-y)$ — Newton's law of cooling
- "rate proportional to the product of $y$ and $(M-y)$" $\Rightarrow$ logistic (BC only, but the wording appears in AB distractors)
For cooling, the long-run behaviour is $y\to M$: the object approaches ambient temperature but never quite reaches it, which is why $\lim_{t\to\infty}y(t)=M$ is a standard question.
Bảng dịch từ câu chữ sang phương trình — thứ quyết định câu trả lời đúng hay sai ngay từ dòng đầu:
- “tốc độ tỉ lệ với lượng hiện có” ⇒ $\frac{dy}{dt}=ky$
- “tốc độ tỉ lệ với hiệu giữa $y$ và $M$” ⇒ $\frac{dy}{dt}=k(M-y)$ — định luật nguội của Newton
- “tỉ lệ với tích của $y$ và $(M-y)$” ⇒ mô hình logistic (thuộc BC, nhưng hay xuất hiện làm phương án nhiễu ở AB)
Với bài nguội, hành vi dài hạn là $y\to M$: vật tiến về nhiệt độ môi trường nhưng không bao giờ chạm hẳn. Câu “tính $\lim_{t\to\infty}y(t)$” vì thế là câu hỏi chuẩn — và trả lời được mà không cần giải phương trình.
Một tách cà phê $90^\circ$C đặt trong phòng $20^\circ$C. Sau $5$ phút còn $70^\circ$C. Viết mô hình và tính nhiệt độ sau $15$ phút.
$\frac{dT}{dt}=k(20-T)$. Đặt $u=T-20$ ⇒ $\frac{du}{dt}=-ku$ ⇒ $u=u_0e^{-kt}$.
$u_0=90-20=70$. Tại $t=5$: $70-20=50=70e^{-5k}$ ⇒ $e^{-5k}=\frac57$.
Sau $15$ phút: $u=70\left(e^{-5k}\right)^3=70\left(\frac57\right)^3=70\cdot\frac{125}{343}=\frac{1250}{49}\approx25{,}5$.
$T=20+25{,}5\approx45{,}5^\circ$C.
Mẹo ở đây: dùng luỹ thừa bậc ba của $e^{-5k}$ thay vì đi tìm $k$ — nhanh hơn và không có sai số làm tròn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Differential Equations gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.