Mục lục bài họcĐang ở d08-b1
Average Value and Motion Revisited
Average value
$$f_{\text{tb}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$Notice this is the integral divided by the length of the interval, not by $n$. The Mean Value Theorem for Integrals guarantees that a continuous $f$ actually attains this average value at some $c$ in $[a,b]$.
Distance versus displacement
For a particle with velocity $v(t)$ on $[a,b]$:
$$\text{độ dời}=\int_a^b v(t)\,dt,\qquad \text{quãng đường}=\int_a^b\left|v(t)\right|dt$$They agree only when $v$ never changes sign. To compute total distance by hand, split at the zeros of $v$ and add the absolute values of the pieces.
Giá trị trung bình của hàm là tích phân chia cho độ dài khoảng, không phải chia cho số điểm. Đơn vị là cách kiểm nhanh: chia cho giây thì kết quả vẫn phải mang đơn vị của $f$.
Độ dời và quãng đường là hai đại lượng khác nhau:
- Độ dời $=\int_a^b v\,dt$ — có dấu, cho biết vị trí cuối lệch bao nhiêu so với đầu.
- Quãng đường $=\int_a^b|v|\,dt$ — luôn không âm, cộng cả phần đi lui.
Hai cái bằng nhau chỉ khi $v$ không đổi dấu. Tính tay thì cắt tại các nghiệm của $v$ rồi cộng trị tuyệt đối từng đoạn.
Chất điểm có $v(t)=t^2-4t+3$ trên $[0,4]$. Tính độ dời và quãng đường.
$v=(t-1)(t-3)$: dương trên $[0,1)$, âm trên $(1,3)$, dương trên $(3,4]$.
Độ dời: nguyên hàm $\frac{t^3}{3}-2t^2+3t$. Tại $t=4$: $\frac{64}{3}-32+12=\frac{64}{3}-20=\frac43$. Tại $t=0$: $0$. Vậy độ dời $=\frac43$.
Quãng đường: cắt tại $t=1$ và $t=3$.
- $[0,1]$: $\frac13-2+3=\frac43$
- $[1,3]$: $\left(9-18+9\right)-\frac43=-\frac43$ ⇒ lấy trị tuyệt đối $\frac43$
- $[3,4]$: $\frac43-0=\frac43$
Tổng quãng đường $=\frac43+\frac43+\frac43=4$.
Chênh lệch giữa $4$ và $\frac43$ chính là phần đi lui bị đếm hai lần.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 8 — Applications of Integration gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.