Mục lục bài họcĐang ở d07-b1
Slope Fields
Drawing the equation before solving it
A slope field plots, at each grid point $(x,y)$, a short segment whose slope is $\frac{dy}{dx}$ evaluated there. A solution curve is any curve that flows tangent to those segments — one curve for each initial condition.
How to read a field quickly:
- Segments identical along a horizontal line ⇒ $\frac{dy}{dx}$ depends only on $y$.
- Segments identical along a vertical line ⇒ it depends only on $x$.
- Horizontal segments mark where $\frac{dy}{dx}=0$; a whole row of them is an equilibrium solution.
AP asks you to sketch the particular solution through a marked point — draw it through the point and let it follow the segments, never crossing another solution curve.
Trường hệ số góc là hình vẽ của phương trình trước khi giải: ở mỗi điểm lưới $(x,y)$ vẽ một gạch ngắn có độ dốc bằng $\frac{dy}{dx}$ tại đó. Đường nghiệm là đường chảy tiếp tuyến với các gạch ấy — mỗi điều kiện đầu cho một đường.
Cách đọc nhanh:
- Gạch giống nhau theo hàng ngang ⇒ $\frac{dy}{dx}$ chỉ phụ thuộc $y$.
- Gạch giống nhau theo cột dọc ⇒ chỉ phụ thuộc $x$.
- Gạch nằm ngang là nơi $\frac{dy}{dx}=0$; cả một hàng như vậy là nghiệm cân bằng.
Khi được yêu cầu phác nghiệm riêng, hãy vẽ đi qua đúng điểm đã đánh dấu và bám theo các gạch. Đường nghiệm không bao giờ cắt nhau.
Một trường hệ số góc có mọi gạch trên cùng một cột dọc giống nhau, và các gạch nằm ngang xuất hiện đúng tại $x=2$. Phương trình nào phù hợp?
Gạch giống nhau theo cột dọc ⇒ $\frac{dy}{dx}$ không phụ thuộc $y$, chỉ phụ thuộc $x$.
Gạch nằm ngang tại $x=2$ ⇒ $\frac{dy}{dx}=0$ khi $x=2$.
Phương trình đơn giản nhất thoả cả hai: $\frac{dy}{dx}=x-2$.
Các phương án như $\frac{dy}{dx}=y-2$ bị loại ngay bởi quan sát đầu tiên — đây là cách loại trừ nhanh nhất ở dạng câu này.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Differential Equations gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.