Mục lục bài họcĐang ở d05-b3
Optimisation and Curve Sketching
Optimisation workflow
- Name variables and write the quantity to be optimised.
- Use a constraint to reduce to one variable, and state the domain.
- Differentiate, find critical points.
- Justify that your candidate really is the max/min — first or second derivative test, or the candidates test on a closed domain.
- Answer the question actually asked (often the dimensions, not the maximum value).
Step 4 carries its own rubric point. Finding the right number without justifying it typically loses one to two marks.
Also remember the domain is usually physical: a length cannot be negative, so intervals like $0
Quy trình tối ưu, đúng năm bước:
- Đặt biến, viết đại lượng cần tối ưu.
- Dùng ràng buộc để đưa về một biến, và nêu miền giá trị.
- Đạo hàm, tìm điểm tới hạn.
- Chứng minh đó thật sự là cực đại/cực tiểu — bằng dấu hiệu cấp một, cấp hai, hoặc so sánh trên đoạn đóng.
- Trả lời đúng câu được hỏi — thường là kích thước, không phải giá trị lớn nhất.
Bước 4 có điểm riêng trong rubric. Tìm ra số đúng mà không chứng minh thì mất một đến hai điểm — đây là chỗ mất điểm âm thầm nhất của cả chương.
Miền giá trị thường mang nghĩa vật lý: chiều dài không âm, nên hay ra khoảng dạng $0
Cắt bốn góc vuông cạnh $x$ từ tấm bìa $20\times20$ cm rồi gấp thành hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích lớn nhất.
$V(x)=x(20-2x)^2$ với miền $0
$V'(x)=(20-2x)^2+x\cdot 2(20-2x)(-2)=(20-2x)\left[(20-2x)-4x\right]=(20-2x)(20-6x)$.
$V'=0$ tại $x=10$ (ngoài miền) và $x=\frac{10}{3}$.
Chứng minh cực đại: với $x<\frac{10}{3}$ thì cả hai thừa số dương ⇒ $V'>0$; với $\frac{10}{3}
Vậy $x=\frac{10}{3}$ cm, và $V=\frac{10}{3}\left(\frac{40}{3}\right)^2=\frac{16000}{27}\approx592{,}6$ cm³.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 5 — Analytical Applications of Differentiation gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.