Mục lục bài họcĐang ở d04-b3
L'Hospital's Rule and the MVT
L'Hospital
If $\lim\frac{f}{g}$ has the indeterminate form $\frac00$ or $\frac{\infty}{\infty}$, then
$$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$$provided the right-hand limit exists. Verify the form first — applying it to $\frac{2}{5}$ gives nonsense, and AP rubrics deduct for using it without checking.
Note this is not the quotient rule: differentiate top and bottom separately.
Mean Value Theorem
If $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, there is $c\in(a,b)$ with
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$In words: somewhere the instantaneous rate equals the average rate over the interval.
L'Hospital chỉ dùng được khi giới hạn đúng dạng $\frac00$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$. Phải kiểm dạng trước — áp vào $\frac25$ là ra kết quả vô nghĩa, và rubric AP trừ điểm việc dùng mà không kiểm.
Và nhớ: đây không phải quy tắc thương. Đạo hàm tử và mẫu riêng rẽ, không có dấu trừ, không có bình phương mẫu.
Định lý giá trị trung bình (MVT) nói: ở đâu đó trong khoảng, tốc độ tức thời bằng đúng tốc độ trung bình của cả đoạn. Ngôn ngữ đời thường: đi $180$ km trong $2$ giờ thì chắc chắn có một khoảnh khắc kim đồng hồ tốc độ chỉ đúng $90$ km/h.
Giả thiết phải nêu đủ: liên tục trên đoạn đóng, khả vi trên khoảng mở.
Tính $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1-2x}{x^2}$.
Kiểm dạng: tử $\to 1-1-0=0$, mẫu $\to0$ ⇒ $\frac00$, dùng được.
$$\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}-2}{2x}$$Vẫn $\frac00$ ⇒ kiểm lại rồi dùng lần hai:
$$\lim_{x\to0}\frac{4e^{2x}}{2}=\frac{4}{2}=2$$Mỗi lần dùng phải viết ra rằng dạng vẫn vô định — bỏ qua bước đó là mất điểm trình bày dù số đúng.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 4 — Contextual Applications of Differentiation gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.