Mục lục bài họcĐang ở d06-b2
The Fundamental Theorem of Calculus
Two parts, two jobs
Part 1 (accumulation). If $g(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ with $f$ continuous, then $g'(x)=f(x)$. With a variable upper limit that is itself a function, the chain rule joins in:
$$\frac{d}{dx}\int_a^{u(x)}f(t)\,dt=f\big(u(x)\big)\cdot u'(x)$$Part 2 (evaluation). If $F'=f$ then $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.
The accumulation form is the one AP leans on hardest in context problems:
$$f(b)=f(a)+\int_a^b f'(x)\,dx$$In words: final amount equals initial amount plus the net change accumulated.
Phần 1 — tích luỹ. Hàm $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ có $g'(x)=f(x)$. Nói cách khác: đạo hàm của diện tích dồn chính là chiều cao đường cong tại mốc đó. Nếu cận trên là một hàm $u(x)$ thì thêm thừa số dây chuyền $u'(x)$.
Phần 2 — tính toán. $\int_a^b f=F(b)-F(a)$ với $F$ là một nguyên hàm bất kỳ của $f$.
Dạng tích luỹ mới là thứ đề AP dùng nhiều nhất trong câu ngữ cảnh:
$$f(b)=f(a)+\int_a^b f'(x)\,dx$$Dịch ra: lượng cuối = lượng đầu + phần tích luỹ thêm. Gần như mọi câu “bể nước”, “dân số”, “xe cộ” của AP đều là công thức này.
Cho $g(x)=\displaystyle\int_1^{x^2}\sqrt{1+t^3}\,dt$. Tính $g'(2)$.
Theo Phần 1 kèm dây chuyền: $g'(x)=\sqrt{1+\left(x^2\right)^3}\cdot 2x=2x\sqrt{1+x^6}$.
Tại $x=2$: $g'(2)=4\sqrt{1+64}=4\sqrt{65}$.
Quên thừa số $2x$ là lỗi phổ biến nhất ở dạng này — và phương án $\sqrt{65}$ luôn có mặt trong bốn lựa chọn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 6 — Integration and Accumulation of Change gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.